2018 Fiscal Year Annual Research Report
Creation and development of geometric analysis to connect discrete geometry and smooth geometry, and collaborations with materials science
Publicly Offered Research
| Project Area | Discrete Geometric Analysis for Materials Design |
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| Project/Area Number |
18H04487
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
小磯 深幸 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (10178189)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 変分問題 / 幾何解析 / 平均曲率 / 非等方的エネルギー / 非等方的平均曲率流 / Wulff図形 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
曲面の非等方的エネルギーの変分問題は、エネルギー密度関数の適切な選択により、液体・方向性のある液晶・結晶(固体)の全ての最適形状を求める一般的方法を与えると考えられる。解としては、滑らかな曲面・カドのある曲面・多面体（あるいは離散曲面）が現れる。これらを統一的に扱うことにより、滑らかな微分幾何学や楕円型作用素が支配的な曲面の研究では扱えなかった曲面の解析及びエネルギー勾配流の研究を行うことを目指し、「区分的Cr級弱はめ込み」という一般次元ユークリッド空間内の超曲面のクラスを定義し、このクラスに属する超曲面について以下の研究成果を得た。まず、非等方的エネルギーの臨界点の幾何学的及び解析的な性質やいくつかの有用な積分公式を求めた。さらに、閉超曲面について、エネルギー汎関数が凸性を持つ場合のエネルギー極小解の一意性を証明した。一方、エネルギー汎関数に凸性を仮定しない場合には「良い性質」を持つ臨界点の一意性が必ずしも成立しないこと、エネルギー勾配流（非等方的平均曲率流）の「良い性質」を持つ自己相似縮小解の一意性が必ずしも成立しないことを証明した。ここで「良い性質を持つ」とは、「自己交差を持たないか、または、球面からの弱はめ込み」を意味する。
また、相対論で重要な高次元ブラックホールの幾何学的形状の決定に関する研究、楔状領域内の微小液滴の数理モデルに対する安定性の決定を物理学者と共同で行った。さらに、工学系の研究者との研究討議及び微小液滴に係る実験観察を行い、曲面の変分問題についての幾何解析の応用に係る新たな知見を得た。
上述の研究成果を、モスクワ（ロシア）、ウィーン（オーストリア）、慶州（韓国）、台北（台湾）、ソウル（韓国）、及び、日本国内の各地で口頭発表した。また、研究成果を学術論文と研究集会報告集の原稿にまとめた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
当初予定よりも一般的な超曲面のクラスを定義し、そのクラスにおいて研究成果をあげることができた。
閉超曲面について、「良い性質」を持つ臨界点の一意性に関する当初予定していなかった予想を得た。
工学系の研究者との研究討議及び微小液滴に係る実験観察を行い、新たな知見を得ることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
(1) 上述した「区分的Cr級弱はめ込み」というクラスの超曲面に対して非等方的エネルギーの第二変分公式を求め、エネルギー汎関数に凸性を仮定しない場合には安定解の一意性が必ずしも成立しないことを証明する。また、自己交差を持たない、球面からの弱はめ込み、安定、のいずれかを仮定した時に、閉臨界点がCahn-Hoffman場の像の部分集合となるか否かを検討する。
(2) これまで得た結果を、エネルギー密度関数が微分可能でない点を持つ場合に対して拡張する。ここで、幾何学的測度論の考えを利用することを検討する。
(3) 非等方的エネルギーの臨界点の特異点の近傍での振る舞いを調べ、出現する特異点の種類を調査する。
(4) 離散曲面に対し、上記結果の対応物を得る。
(5) これらの研究成果を物質・材料科学の研究者と共有し、応用する。
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[Presentation] 結晶に纏わる（微分）幾何学2018
Author(s)
Miyuki Koiso
Organizer
Mini-Workshop on Geometry and Mathematical Science, Osaka City Univeristy
Int'l Joint Research / Invited
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