指数定理の展開とトポロジカル表面状態

• Project Area: Discrete Geometric Analysis for Materials Design
• Project/Area Number: 17H06461
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research on Innovative Areas (Research in a proposed research area)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Review Section: Science and Engineering
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 古田 幹雄 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (50181459)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 五味 清紀 東京工業大学, 理学院, 教授 (00543109) ; 加藤 毅 京都大学, 理学研究科, 教授 (20273427)
• Project Period (FY): 2017-06-30 – 2022-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2020)
• Budget Amount: ¥52,130,000 (Direct Cost: ¥40,100,000、Indirect Cost: ¥12,030,000); Fiscal Year 2021: ¥11,700,000 (Direct Cost: ¥9,000,000、Indirect Cost: ¥2,700,000); Fiscal Year 2020: ¥11,700,000 (Direct Cost: ¥9,000,000、Indirect Cost: ¥2,700,000); Fiscal Year 2019: ¥11,700,000 (Direct Cost: ¥9,000,000、Indirect Cost: ¥2,700,000); Fiscal Year 2018: ¥11,700,000 (Direct Cost: ¥9,000,000、Indirect Cost: ¥2,700,000); Fiscal Year 2017: ¥5,330,000 (Direct Cost: ¥4,100,000、Indirect Cost: ¥1,230,000)
• Keywords: トポロジー / 指数定理 / ドメインウォール / ゲージ理論

Outline of Annual Research Achievements

Atiyah-Singerの指数定理は閉多様体上の線形偏微分方程式の解空間の次元から決まる「指数」を、ある条件の下でトポロジカルに与える公式である。 本研究のひとつの課題は、ある設定の下で、指数定理を（１）非線形偏微分作用素に対して、また（２）閉ではない多様体、に対して拡張し、ある種の非線形偏微 分作用素に対して解の散乱に相当する現象をトポロジカルに把握することである。ここで（１）としては３，４多様体上のゲージ理論の方程式、（２）としては 端のモデルが閉多様体の被覆空間である開多様体が対象である。
本年度の主要な結果は、（２）の課題の方向についての線形微分方程式に対する研究として、偶数次元の境界をもつ多様体に関するAtiyah-Patodi-Singer指数を表すドメインウォールとエータ不変量を用いた公式の、数学的な証明を与えた。この公式自体は、2017年に、物理学者の深谷英則、大野木哲也、山口哲により、藤川の方法により、多様体が4次元かつ平坦である場合に物理的議論によって得られていた。その公式を示す数学的に厳密な議論を、より一般化された状況に対して与えることができた。この数学的証明のためのアイディアは、幾何学的設定として、所与の偶数次元多様体の境界を一次元高い奇数次元多様体の中で、シリンダー状の端に伸ばした開多様体を、角付きのドメインウォールとして実現することである。（古田および協力研究員松尾信一郎と、山下真由子の両氏、そして物理学者の3名の共同研究による。）この新しい方法の利点は、mod 2 指数に対しても議論の主要部分がそのまま適用可能な点である。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

物理学者と数学者との共同研究は期待してはいたものの、実際にどのような形で実現されるかの想定は予めできなかったし、そもそも予め想定されるものではない。実際には予期を超えた成果が、今後の進展が見込める形で得られた。その後、関連したワークショップの准定期的開催が行われ、研究に新たな展開が進みつつある。この部分では「当初の計画以上に進展している」に相当する。これは新学術領域研究の計画班と公募班の研究との共同研究であり、数学と物理の間の領域の開拓にも寄与しているとも評価できると考える。
一方、本研究の課題のひとつの側面である非線形微分方程式のかかわる部分においては、すでに得た成果をまとめる以上の顕著な展開には至らなかった。

Strategy for Future Research Activity

●予期を超える成果があった物理学者との共同研究については、今後もワークショップを準定期的に開催し、協力を推進する。
●十分な展開に至らなかった非線形微分方程式のかかわる部分においては、マンパワーの不足が否めなかった。若手の協力研究員を数名加え、若手人材の育成を行う。

Research Products

• [Journal Article] Chiral vector bundles (2018)
  • Author(s): Giuseppe De Nittis, Kiyonori Gomi
  • Journal Title: Mathematische Zeitschrift Volume: 290 Pages: 775-830
  • DOI: 10.1007/s00209-018-2041-1
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Topological Invariants and Corner States for Hamiltonians on a Three-Dimensional Lattice (2018)
  • Author(s): Hayashi Shin
  • Journal Title: Communications in Mathematical Physics Volume: 364 Pages: 343-356
  • DOI: 10.1007/s00220-018-3229-2
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Many-body topological invariants for fermionic short-range entangled topological phases protected by antiunitary symmetries (2018)
  • Author(s): Ken Shiozaki, Hassan Shapourian, Kiyonori Gomi, Shinsei Ryu
  • Journal Title: Physical Review B Volume: 98
  • DOI: 10.1103/physrevb.98.035151
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] The FKMM-invariant in low dimension (2018)
  • Author(s): De Nittis Giuseppe、Gomi Kiyonori
  • Journal Title: Letters in Mathematical Physics Volume: 108 Pages: 1225-1277
  • DOI: 10.1007/s11005-017-1029-9
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] The cohomological nature of the Fu-Kane-Mele invariant (2018)
  • Author(s): Guseppe De Nittis, Kiyonori Gomi
  • Journal Title: Journal of Geometry and Physics Volume: 124 Pages: 124-164
  • DOI: 10.1016/j.geomphys.2017.10.007
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Fu-Kane-Mele monopoles in semimetals (2017)
  • Author(s): Guo Chuan Thiang, Koji Sato and Kiyonori Gomi
  • Journal Title: Nuclear Physics B Volume: 923 Pages: 107-125
  • DOI: 10.1016/j.nuclphysb.2017.07.018
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Twists on the torus equivariant under the 2-dimensional crystallographic point groups (2017)
  • Author(s): Kiyonori Gomi
  • Journal Title: Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications Volume: 13 Pages: 014-051
  • DOI: 10.3842/sigma.2017.014
  • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research / Acknowledgement Compliant
• [Journal Article] A class of asymmetric gapped Hamiltonians on quantum spin chains and its characterization III (2017)
  • Author(s): Yoshiko Ogata
  • Journal Title: Communications in Mathematical Physics Volume: 352 Pages: 1205-1263
  • DOI: 10.1007/s00220-016-2810-9
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research / Acknowledgement Compliant
• [Journal Article] Bulk-edge correspondence and the cobordism invariance of the index (2017)
  • Author(s): Hayashi Shin
  • Journal Title: Reviews in Mathematical Physics Volume: 29 Pages: 1750033-1750033
  • DOI: 10.1142/s0129055x17500337
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Presentation] The Atiyah-Patodi-Singer index theorem and domain walls (2018)
  • Author(s): 古田幹雄
  • Organizer: BEC2018X Variety and universality of bulk-edge correspondence in topological phases: From solid state physics to transdisciplinary concepts, Tsukuba University
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Topological invariants andcorner states for Hamiltonians on a three dimensional lattice (2018)
  • Author(s): 林晋
  • Organizer: Topology and computer 2018, Nara Women’s University
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Twisted Donaldson invariant (2018)
  • Author(s): 加藤毅
  • Organizer: Gauge Theory and Applications, Universität Regensburg
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Asymptotic volume growth of the instanton moduli spaces over the four-sphere (2018)
  • Author(s): 松尾信一郎
  • Organizer: Gauge theory and applications at Universität Regensburg
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Band topology and submanifolds of matrices (2018)
  • Author(s): 五味清紀
  • Organizer: Recent progress in mathematics of topological insulators, ETH Zürich, Switzerland
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Twisted Donaldson invariant (2018)
  • Author(s): 加藤毅
  • Organizer: Gauge Theory in Fukuoka
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Relative higher index and almost flat bundles (2018)
  • Author(s): 窪田陽介
  • Organizer: Gauge Theory in Fukuoka
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] A (3+1)-dimensional TQFT with TRS-like symmetry (2018)
  • Author(s): 古田幹雄
  • Organizer: Variety and universality of bulk-edge correspondence in topological phases, University of Tsukuba
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Topological crystalline insulators and K-theory (2018)
  • Author(s): 五味清紀
  • Organizer: Topology & Condensed Matter , National Tsing Hua University, Taiwan, March 22-23
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Pin(2)-Seiberg-Witten Floer functor on homology 3-spheres (2017)
  • Author(s): 古田幹雄
  • Organizer: Mathematical Aspects of Topological Phases of Matter and Quantum Computing, AIMR
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] A class of asymmetric gapped Hamiltonians on quantum spin (2017)
  • Author(s): 緒方芳子
  • Organizer: "Operator algebras and Quantum Information Theory", IHP Paris
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Remarks] 東大数理： 研究成果報告書平成30年度
  • URL: https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/activity/documents/AnnualReport2018.pdf
• [Remarks] 京都大学 教育研究活動データベース
  • URL: https://kyouindb.iimc.kyoto-u.ac.jp/j/cA2iC
• [Remarks] Kiyonori Gomi's Website
  • URL: http://www.math.titech.ac.jp/~kgomi/
• [Funded Workshop] Topology and Computer 2018, Oct. 12 (Fri) - 14 (Sun) around midday Venue: Nara Women’s University, Collaboration Center Z306 (2018)
• [Funded Workshop] Symposium on Transformation Groups, Kumamoto City International Center,December 6(Thu) - December 8(Sat), 2018 (2018)
• [Funded Workshop] East Asian Conference on Gauge theory and Related Topics, Kyoto university, September 11- September 15, 2018 (2018)
• [Funded Workshop] Gauge Theory in Fukuoka (2018)