Global analysis of phase transition by using nano-minimal surface theory

• Project Area: Discrete Geometric Analysis for Materials Design
• Project/Area Number: 17H06466
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research on Innovative Areas (Research in a proposed research area)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Review Section: Science and Engineering
• Research Institution: Nagoya University
• Principal Investigator: 内藤 久資 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (40211411)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 納谷 信 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (70222180)
• Project Period (FY): 2017-06-30 – 2022-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2021)
• Budget Amount: ¥52,130,000 (Direct Cost: ¥40,100,000、Indirect Cost: ¥12,030,000); Fiscal Year 2021: ¥11,700,000 (Direct Cost: ¥9,000,000、Indirect Cost: ¥2,700,000); Fiscal Year 2020: ¥11,700,000 (Direct Cost: ¥9,000,000、Indirect Cost: ¥2,700,000); Fiscal Year 2019: ¥11,700,000 (Direct Cost: ¥9,000,000、Indirect Cost: ¥2,700,000); Fiscal Year 2018: ¥11,700,000 (Direct Cost: ¥9,000,000、Indirect Cost: ¥2,700,000); Fiscal Year 2017: ¥5,330,000 (Direct Cost: ¥4,100,000、Indirect Cost: ¥1,230,000)
• Keywords: 離散幾何解析 / 極小曲面 / 材料科学 / グラフェン / 離散材料幾何学 / 幾何解析学 / 離散幾何解析学 / 微分幾何学 / 数値解析

Outline of Annual Research Achievements

３分岐離散曲面の細分列の収束を研究した．従来の研究では３分岐抽象グラフを３次元ユークリッド空間に埋め込むために「標準実現」を使っていたため，位相的結晶に対応する３分岐離散曲面以外に細分列を構成することができなかった．そのため，一般の細分ではなく特殊な細分のみを対象とし，埋め込み方法としてバランス条件を用いることにより，フラーレンをモデルとした結晶構造には対応しない３分岐離散曲面に対しても細分列を定義し，その収束を考察した．その結果として，有限もしくは周期的なグラフ構造に基づく３分岐離散曲面の細分列は，ハウスドルフ位相に関してコーシー列をなすこと，およびそのエネルギーは有界であることを示した．　この結果はすでに論文は受理されている．
一方，立方格子・ダイヤモンド格子などと関連する共連続構造に関する研究を行った．　この研究は現在も継続中である
また，曲がったグラフェン構造に関しての研究を行った．　頂点（原子）間の２乗距離の和を考えるのみでは5-7グラフ園構造を数学的な考察からは再現できないため，第２隣接頂点間に「クーロン反発力」を導入することに寄って，5-7 グラフェンの曲がった構造を再現することができ，この計算は密度汎関数理論に基づく数値計算よりも100倍以上高速であることがわかった．　このことを利用して，5-7グラフェンの単一炭素原子を窒素原子に置換するためのエネルギーを求め，5-7グラフェンのガウス曲率と比較した．　この研究結果は現在投稿中である．

Current Status of Research Progress

1: Research has progressed more than it was originally planned.

Reason

３分岐離散曲面の収束理論に対して，一定の結果を得ることができた．
また，物性と離散曲面の曲率の間に一定の相関があることがわかった.

Strategy for Future Research Activity

現在のコロナ感染症拡大の状況下では，対面での研究打ち合わせに大きな障害が出ているが，オンラインツールを利用して研究打ち合わせを行うことにより，物質科学研究者との研究打ち合わせを継続する．

Research Products

• [Journal Article] Construction of continuum from a discrete surface by its iterated subdivisions (2021)
  • Author(s): Motoko Kotani, Hisashi Naito, Chen Tao
  • Journal Title: Tohoku Mathematical Journal (掲載決定済) Volume: -
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] A discrete surface theory (2017)
  • Author(s): Motoko Kotani, Hisashi Naito, Toshiaki Omori
  • Journal Title: Computer Aided Geometric Design Volume: 58 Pages: 24-54
  • DOI: 10.1016/j.cagd.2017.09.002
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] Fixed-point property for affine actions on a Hilbert space (2017)
  • Author(s): Shin Nayatan
  • Journal Title: RIMS Kokyuroku Bessatsu Volume: 66
  • Peer Reviewed
• [Presentation] ３分岐離散曲面と炭素構造 (2021)
  • Author(s): 内藤久資
  • Organizer: 日本数学会2021年度年会
  • Invited
• [Presentation] Carbon structures and a discrete surface theory (2021)
  • Author(s): Hisashi Naito
  • Organizer: Mathematical Sciences of Visualization and Deeping of Symmetry and Moduli, Osaka City University
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] 離散曲面論とその材料科学への応用 (2020)
  • Author(s): 内藤久資，小谷元子
  • Organizer: 化学工学会第51回秋季大会，材料・界面部会シンポジウム：次世代物質・材料探索のための新たなアプローチ
  • Invited
• [Presentation] 次世代物質探索のための離散幾何学 (2020)
  • Author(s): 内藤久資
  • Organizer: 第14回凝縮系科学領域横断研究会
  • Invited
• [Presentation] 離散曲面論とその材料科学への応用 (2020)
  • Author(s): 内藤久資
  • Organizer: 日本物理学会第76回年次大会，シンポジウム：次世代物質探索のための離散幾何学
  • Invited
• [Presentation] Discrete geometric analysis -- crystal structure, a discrete surface theory and its applications to physics and chemistry -- (2019)
  • Author(s): Hisashi NAITO
  • Organizer: Introductory workshop on discrete differential geometry
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Analysus of phase transitions using minimal surfaces (2018)
  • Author(s): 内藤久資
  • Organizer: 次世代物質探索のための離散幾何学・領域会議
  • Invited
• [Presentation] ナノ極小曲面論による相分離過程の大域解析 (2018)
  • Author(s): 内藤久資
  • Organizer: 次世代物質探索のための離散幾何学・班会議
  • Invited
• [Presentation] 炭素構造・結晶格子・離散曲面 (2018)
  • Author(s): 内藤久資
  • Organizer: 名古屋大学，物質と幾何セミナー
• [Presentation] Analysis of phase transitions using minimal surfaces (2018)
  • Author(s): Hisashi Naito
  • Organizer: Discrete Geometric Analysis for Materials Design
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] ラプラシアンの第１固有値を最大化する種数２閉曲面上の計量 (2018)
  • Author(s): 納谷 信
  • Organizer: 日本数学会2018年度年会
• [Presentation] 三分岐離散調和曲面の収束 (2017)
  • Author(s): 内藤久資
  • Organizer: 多様体上の微分方程式
  • Invited
• [Presentation] 炭素構造と離散幾何解析 (2017)
  • Author(s): 内藤久資
  • Organizer: 幾何学を指標とする化学構造と機能物性
  • Invited
• [Presentation] Metrics on a closed surface of genus two which maximize the first eigenvalue of the Laplacian (2017)
  • Author(s): Shin Nayatani
  • Organizer: The 3rd Japan-China Geometry Conference
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Hersch-Yang-Yauの不等式と閉曲面上の第１固有値の最大化について (2017)
  • Author(s): 納谷 信
  • Organizer: Geometric Analysis in Geometry and Topology 2017
  • Invited
• [Presentation] ラプラシアンの第１固有値を最大化する閉曲面上の計量について (2017)
  • Author(s): 納谷 信
  • Organizer: リーマン幾何と幾何解析
  • Invited