| Project Area | Establishing data descriptive science and its cross-disciplinary applications |
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| Project/Area Number |
22H05107
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Transformative Research Areas (A)
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Review Section |
Transformative Research Areas, Section (II)
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
平岡 裕章 京都大学, 高等研究院, 教授 (10432709)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
石井 豊 九州大学, 数理学研究院, 教授 (20304727)
池 祐一 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (50850400)
落合 啓之 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (90214163)
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| Project Period (FY) |
2022-06-16 – 2027-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2026)
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| Budget Amount *help |
¥160,550,000 (Direct Cost: ¥123,500,000、Indirect Cost: ¥37,050,000)
Fiscal Year 2026: ¥34,710,000 (Direct Cost: ¥26,700,000、Indirect Cost: ¥8,010,000)
Fiscal Year 2025: ¥34,320,000 (Direct Cost: ¥26,400,000、Indirect Cost: ¥7,920,000)
Fiscal Year 2024: ¥34,060,000 (Direct Cost: ¥26,200,000、Indirect Cost: ¥7,860,000)
Fiscal Year 2023: ¥33,410,000 (Direct Cost: ¥25,700,000、Indirect Cost: ¥7,710,000)
Fiscal Year 2022: ¥24,050,000 (Direct Cost: ¥18,500,000、Indirect Cost: ¥5,550,000)
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| Keywords | パーシステントホモロジー / Perverse sheaf / 層理論 / 高次元可視化 / 表現論 / D加群 / 柏原クリスタル / 結晶基底 / 力学系 / マグニチュードホモロジー / バーチャルリアリティ / 代数解析 |
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| Outline of Research at the Start |
現代社会に氾濫する高次元データは，その構造を直接「見る」ことができない．低次元空間への射影や断面を用いる従来法からは，構造の直感的理解を得ることは難しく，さらには幾何・トポロジー構造が潰されたものになる問題点もある．そこで本研究では，高次元データを直感的に知覚できるデータ記述子の開発を目標に据えた，以下の３テーマを実施する．
テーマ１：バーチャルリアリティ（VR）を用いたインタラクティブな高次元可視化の数理
テーマ２：パーシステントホモロジーの代数解析・代数幾何的研究とその応用
テーマ３：マグニチュードホモロジーの自然言語処理・オミックスデータ解析への応用
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| Outline of Annual Research Achievements |
テーマ１：高エネルギー加速器研究機構の木村正雄氏のグループ、早稲田大学の五十嵐治雄氏との共同で、X線分光顕微鏡法による非破壊マッピングの画像をバーチャル・リアリティを用いて可視化するシステムを構築した。この画像は対象物の３自由度に加えて時間や反応度を変数として含むため、実質的に５次元のデータとなる。このような高次元データを多重射影の方法で可視化することで、破壊のトリガーサイトの発見を容易にした。
テーマ２：
前年度、マルチパラメータ・パーシステントホモロジーが定める表現代数多様体に柏原クリスタルの構造が入ることを証明することに成功した。その結果を受けて、今年度はそのクリスタル構造と量子群が定めるクリスタル構造の関係を調べる研究に着手した。2 x 2型で具体的に柏原作用素を構成することで、量子群が定めるクリスタルへの埋め込みが実現できないことが証明できた。この研究に付随して、2 x 2型の既約成分の特徴付けを用いて2 x 3型の既約成分を列挙することにも成功した。
テーマ３：前年度に開発した手法「Topological node2vec」について、重みを定める際に用いるランダムウォークの埋め込み結果に対する初期値依存性について数値的研究を実施し、埋め込みへの依存性は極めて低いことを確認した。また自然言語処理、およびHi-C (high-throughput chromosome conformation capture)データへの適用を目指した、当該分野の先行研究の調査を開始した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
テーマ１：
まず材料科学における非破壊マッピングの５次元画像の可視化については、上述のように多重射影を用いたシステムが完成して、その成果は Journal of Synchrotron Radiation から論文として2024年に出版された。また同時に、運動視差と両眼視差を組み合わせて単一の画像のみを用いた高次元可視化のプロジェクトも開始した。特にそのアルゴリズムを書き下し、そのプロトタイプをVR上で実装した。
テーマ２：
マルチパラメータ・パーシステントホモロジーに対する柏原クリスタルの幾何学的構成に関して、現在論文を執筆中であり2025年には投稿できる予定である。またそこから派生した問題である、既約分解の具体的な構成についても比較的サイズが小さい問題について解決することができ、こちらについても論文執筆中である。昨年度得られた6 packsと区間近似理論の関係に関する結果については、ホモロジー代数的な一般化が可能であることが判明し、現在（1パラメータ方向に完全性を課した表現圏の代数的な性質に関する）定理の証明に取り掛かっている。
テーマ３：
開発手法「Topological node2vec」についての論文をJournal of machine learning researchから出版した。これを元にした応用研究への着手も開始できていることから、概ね計画通りに進んでいる。
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| Strategy for Future Research Activity |
テーマ１：
今後の研究としては二つ考えられる。一つ目は、上述した多重射影による高次元可視化システムを材料科学以外の分野に応用することである。このシステムの強みは密でないフラクタル状の対象物の可視化に効果的な点にあるため、例えば地層形状やその中の地下水の分布などの解析に活かしたい。二つ目の運動視差と両眼視差を組み合わせて高次元可視化を目指すプロジェクトについては、脳神経科学の専門家との共同作業を計画している。
テーマ２：
今後の研究としては、これまでに得られた柏原クリスタルに関する成果を受けて、2025年度からは幾何学的表現論的研究をさらに加速していく。特にLusztigによる標準基底の理論とマルチパラメータ・パーシステントホモロジーの関係に関する研究に着手する。特にperverse層のパーシステントホモロジー的な意味付けを明確する研究に重点的に取り組む。
テーマ３：
Hi-CデータやMC3Cデータへのtopological node2vecの適用を始める。その際、本手法をグラフから単体複体へ拡張させることによって、DNA上の2点より多い複数点間のコンタクト情報を直接扱える数理的手法の開発にも取り組む。
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