| Budget Amount *help |
¥3,600,000 (Direct Cost: ¥3,600,000)
Fiscal Year 2002: ¥1,200,000 (Direct Cost: ¥1,200,000)
Fiscal Year 2001: ¥1,200,000 (Direct Cost: ¥1,200,000)
Fiscal Year 2000: ¥1,200,000 (Direct Cost: ¥1,200,000)
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| Research Abstract |
R^n状の体積要素を保つ形式的ベクトル場全体の成すLie代数B_nのコホモロジー代数をH^*(B_n)とする.体積要素を保つΓ^^-_n-構造の分類空間BΓ^^-_<vol,n>に対して普遍写像H^*B_n)→H^*(BΓ^^-_<vol,n>)が在ることから判るようにH^*(B_n)の構造の解明は重要な問題である.
1.概要
(1)タイプ分解と呼ばれる直和分解H^*(B_n)=【symmetry】_NH^*_N(B_n)の存在を示した.この分解はHochschild-Serreのスペクトル列H^*(B_n,sl_nR)【cross productu】H^+(sl_nR)⇒H^*B_n)と両立するので,H^*_N(B_n,sl_nR)の計算が本質的になる.
(2)H^*(B_n,sl_nR)は無限次元でありことが予想されているが,n=2の場合でも、Chern-Simons理論・Gel'fand-Kalinin-Fuks及び当研究者による4つの非自明なコホモロジー類しか知られていない.
(3)従ってEuler標数χ_N=Σ_p(-1)^pdimH^p_N(B_n,sl_2R)の振る舞いが重要になる.
(4)当研究者はEuler標数の別の表示χ_N=Σ_p(-1)^pdimA^p_N(B_n,sl_2R)に着目し,タイプNのsl_2R-基礎的なp-次交代代形式成すベクトル空間A^p_N(B_n,sl_2R)の次元を調べた.
2.成果
(1)昨年度,H^*(B_2,sl_2R)が線形空間として8308385次元以上(従って上述のスペクトル系列を鑑みてH^*(B_2)が線形空間として16616770次元以上)であることを示した.今年度Nの増大にともなってEuler標数χ_Nが0を中心に激しく振動することを示した.
(2)sl_nR-基底的なタイプNのp-型式のなす線形空間の次元dimA^p_N(B_2,sl_2R)の値について,Gel'fand-Kalinin-FuksはN【less than or equal】4,p【less than or equal】8の範囲で計算した.当研究者は計算を更に進めN【less than or equal】35,p【less than or equal】26の範囲で計算した.その結果Nの増大に伴ってdimA^p_N(B_2,sl_2R)も激しく増大することを示した.(例えば14-型式について,dimA^<14>_0(B_2,sl_2R)=dumA^<14>_1(B_2,sl_2R)=…=dimA^<14>_<10>(B_2,sl_2R)=0,dimA^<14>_<11>(B_2,sl_2R)=1,dimA^<14>_<12>(B_2,sl_2R)=19,…,dimA^<14>_<35>(B_2,sl_2R)=105257368934等)
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