複素力学系の不変量とその放物的分岐における連続性

• Project/Area Number: 00J09635
• Research Category: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 国内
• Research Field: Basic analysis
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 川平 友規 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
• Project Period (FY): 2000 – 2003
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2002)
• Budget Amount: ¥3,000,000 (Direct Cost: ¥3,000,000); Fiscal Year 2002: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000); Fiscal Year 2001: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000); Fiscal Year 2000: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000)
• Keywords: Julia集合 / 放物的分岐 / ラミネーション / タイル張り

Research Abstract

Lyubich-MinskyはKlein群における3次元双曲多様体のアナロジーとして,複素力学系に付随する3次元双曲ラミネーションを構成した.しかしその積層構造の詳細は,限られた例を除きほとんど知られていなかった.
例えば2次多項式が吸引的不動点を持つ場合,その構造はSullivanの2-Solenoidと呼ばれるRiemann面ラミネーションを3次元的に拡張したものになることが知られている.これが重複度2の放物的不動点をもつ2次多項式へと退化するとき,最も簡単なラミネーションの構造変化が期待されるのだが,この場合すら詳細は知られてなかった.
この問題に対し,(1)充填Julia集合の内部を可算個の等角同型なタイルに分割してそのダイナミクスを追い,(2)退化を実現する2次多項式間の半共役写像を具体的に構成,さらに(3)付随するラミネーション間の半共役写像に持ち上げる,という独自の方法により,ラミネーションの退化を明解に記述することが可能になった.結果として,ラミネーションの大局的積層構造は変化せず,葉である3次元双曲多様体の構造のみが変化していることがわかった.また,この方法はその他の2次多項式にも威力を発揮し,Lyubich-Minskyが掲げたいくつかのラミネーション構造決定問題に対しても解答を与えた.
タイル分割の様子は自作プログラムOTIS-Lで描くことができる.この改良,インターネット上で公開を行った.さらにタイルを擬似3次元で表現するプログラムTubesを公開している.

Research Products

• [Publications] Tomoki Kawahira: "Semiconjugacies between the Julia sets of geometrically finite rational maps"Ergodic theory and dynamical systems. (未定).
• [Publications] Tomoki Kawahira: "On the regular leaf spaces of the cauliflower"Kodai Mathematical Journal. (未定).