正則横断性と結び目

• Project/Area Number: 01540003
• Research Category: Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: 代数学・幾何学
• Research Institution: Iwate University
• Principal Investigator: 石川 洋一郎 岩手大学, 人文社会科学部, 助教授 (80004000)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 三浦 康秀 岩手大学, 人文社会科学部, 助教授 (20091647) ; 島野 岳 岩手大学, 人文社会科学部, 助教授 (60004454) ; 石川 明彦 岩手大学, 人文社会科学部, 助教授 (00084377)
• Project Period (FY): 1989
• Project Status: Completed (Fiscal Year 1989)
• Budget Amount: ¥700,000 (Direct Cost: ¥700,000); Fiscal Year 1989: ¥700,000 (Direct Cost: ¥700,000)
• Keywords: 結び目 / 連結和 / イソトピ-

Research Abstract

横断正則性についての私の主要定理、即ちM^3を3次元多様体、αM'=S^Lとする。K、LをD^3の結び目、即ち、K、LはD^3の連結なし1次元部分多様体でαK、αLCαD^3とする。このとき次の定理の真為が今年の研究の1つでありました。“LをD^3の自明な結び目、このときKがD^3で自明でしるい必要十分条件は、微分可能な写像、f:D^3→D^3が存在し、HαD^3が微分同相写像で、fはLに横断正則的でf^<-1>(K)=Lを満たすこと"ある知り合いの先生にお願いして低次元多様体の専門家に見て頂いた結果、この定理が成立しない、即ち、反例があると詳しい内容の手紙を頂きました。私もようやく納得致しました。これらの研究は3次元ポアンカレ予想の肯定的解決のための研究の1つでありました。残念ながら以上の結果が得られてしまいました。しかしながら以上の貴重な事実を基礎として研究を続けました結果3次元ポアンカレ予想について次のような事実が成り立つことがわかりました。唯今かの先生に検閲して頂いておる最中であります。J.Hempelの「3次元多様体、Ann.of Math.Studiesの中に次のような基本定理があります。「M^3を3次元閉多様体としM^3に含まれる任意の単純閉曲線は必ずM^3の中の3-cellに含まれるなら、このときM^3はS^3に同相となる」この定理が手掛りとなり次のような事実が成り立ちます。M^3をαM^3=S^2である単連結な3次元多様体としてKをM^3の連結な境界をもつ一次元部分多様体でαK<αM^3とする。このときM^3はD^3と単連結な3次元閉多様体N^3との連結和となりかつK<D^3となる。M^3=D^3#N^3、K<D^3、これ以上は詳しく述べられませんが、今後これが正しいか否かをめぐって検討して行きたいと思っております。