2変数チェビシェフ多項式に付随する力学系

• Project/Area Number: 05640285
• Research Category: Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: General mathematics (including Probability theory/Statistical mathematics)
• Research Institution: Tokai University
• Principal Investigator: 内村 桂輔 東海大学, 理学部・数学科, 教授 (20092835)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 伊藤 達夫 東海大学, 理学部・数学科, 助教授 (20151516) ; 山口 勝 東海大学, 理学部・情報数理学科, 教授 (10056252) ; 永瀬 輝男 東海大学, 理学部・数学科, 教授 (90164425) ; 田中 実 東海大学, 理学部・数学科, 教授 (10112773) ; 杉田 公生 東海大学, 理学部・数学科, 教授 (60056083)
• Project Period (FY): 1993
• Project Status: Completed (Fiscal Year 1993)
• Budget Amount: ¥2,000,000 (Direct Cost: ¥2,000,000); Fiscal Year 1993: ¥2,000,000 (Direct Cost: ¥2,000,000)
• Keywords: カオス / フラクタル / 力学系 / 2変数チェビシェフ多項式 / 倍角写像

Research Abstract

2変数チェビシェフ多項式から導かれた複素平面上の力学系F_c(z)=z^2-c〓を調べた。
有名な複素平面上の力学系〓_c(z)=z^2-cは広く研究され、マンデルブロート集合、ジュリア集合については多くの結果が知られている。この〓_c(z)において、c=2の場合は、1変数チェビシェフ多項式になる。1変数チェビシェフ多項式を2変数チェビシェフ多項式に拡張して導かれたものが、上記のF_c(z)である。
〓_c(z)は一種の倍角写像であることは良く知られている。このことはF_c(z)についても同様に成り立つことがわかった。つぎに、F_c(z)について明らかになった性質を述べる。これらのことから私の定義した力学系F_c(z)は〓_c(z)の自然な拡張であることがわかった。
1.c=2の場合、k周期点の数が4^kであり、F_c(z)はSteinerのHypocycloid S上でchaoticである。もし、z〓Sならば、F^n_c(z)→∞(n→∞)となる。
2.A_c(∞)={z∈C|F^n_c(z)→∞(n→∞)}とおく。cが実数の場合、次の二つの条件が同等であることがわかった。
(1)-4〓c〓2
(2)A_c(∞)が、拡張された複素平面で考えて、単連結である。
3.c>2の時、C-A(∞)はカントール集合となる。そして、F_cはその集合上で4文字上のシフト写像とconjugateである。
これらの結果と同様なことが、力学系〓_c(z)についても成り立つことが良く知られている。我々の結果は〓_c(z)の結果の一つのアナロジーである。

Research Products

• [Publications]
• [Publications]
• [Publications]
• [Publications]