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保型関数のスペクトル理論とその整数論への応用

Research Project

Project/Area Number 06640033
Research Category

Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)

Allocation TypeSingle-year Grants
Research Field Algebra
Research InstitutionNagoya University

Principal Investigator

谷川 好男  名古屋大学, 理学部, 講師 (50109261)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 中野 伸  名古屋大学, 理学部, 講師 (40180327)
寺西 鎮男  名古屋大学, 理学部, 助教授 (20115603)
伊藤 博  名古屋大学, 理学部, 助教授 (30168372)
向井 茂  名古屋大学, 理学部, 教授 (80115641)
北岡 良之  名古屋大学, 理学部, 教授 (40022686)
Project Period (FY) 1994
Project Status Completed (Fiscal Year 1994)
Budget Amount *help
¥2,000,000 (Direct Cost: ¥2,000,000)
Fiscal Year 1994: ¥2,000,000 (Direct Cost: ¥2,000,000)
Keywords加法的約数問題 / アイゼンシュタイン級数 / ア-ス尖点形式 / スペクトル理論 / クロステルマン和 / クロステルマンゼータ関数 / 跡公式 / リニック予想
Research Abstract

加法的約数問題ではしばしば約数関数d(n)に対して、Σ_<n【less than or equal】x>d(n)d(n+k)のxに関する評価が問題になる。Vinogradov-Takhtadzhyanはこの問題に保型関数のスペクトル理論からアプローチするために、積分∫_<Γ\H>1^*(z,1/2)|^2P_k(z,s)dμ(z)( ここで、E^*(z,α)はEisenstein級数、P_k(z,s)はPoincare級数)を考えた。即ちこの積分をL_2(Γ\H)に作用するラプラシアンの固有関数でスペクトル分解し、主要項としてのゼータ関数ζ_k(s)=Σ^∞_<n=1>d(n)d(n+k)n^<-S>の評価を求めている。我々はそのアナロジーとして、Eisenstein級数とMaass form f(z)の積の積分I_k(s;α,f)=∫_<Γ∞\H>E^*(z,α)f(z)y^Se^<2πikx>dμ(z) を考え、その主要項としてのDirichlet級数がどのようなものかを出した。
D_k(s;α,f)=Σ^^∞__<m=1>(σ^<2α-1>(m+k)p(m))/(m^8)+ε_fΣ^^∞__<m=1,m≠k>(σ^<2α-1>(|m-k|)p(m))/(m^s)
がそのDirichlet級数で、一方I_k(s;α,f)をスペクトル表示することによりD_k(s;α,f)のIm(s)→∞における評価を得た。またこれを応用して加法的約数問題のアナロジー、
Σ__<m【less than or equal】x,m≠k>{σ^<2α-1>(m+k)+ε_fσ^<2α-1>(|m-k|)}p(m)=O(x^<2Reα+ηo+∈-1/(2Reα+3/2)>)
が成り立つことを示した。次にD_k(s;α,f)を用いる事により、Z_<n,m>(s)をKloostermanゼータ関数、ω(x)を適当なtest関数として時Σ^∞_<n=1>p(n)Z_<n,m>(s)ω(n)をI_k(s;α,f)の積分で表すことができた。今後の問題として、ω(x)を特殊化することにより、Z_<n,m>(s)の評価が得られないかどうかを考えたいと思っている。

Report

(1 results)
  • 1994 Annual Research Report
  • Research Products

    (3 results)

All Other

All Publications (3 results)

  • [Publications] Yoshio Tanigawa: "On certain Dirichlet series obtained by the product of Eisenstein series and a cusp form" Proc.Japan Academy. 71. 27-29 (1995)

    • Related Report
      1994 Annual Research Report
  • [Publications] Yoshiyuki Kitaoka: "The minimum and the primitive representation of positive definite guadratic forms" Nagoya Math.Jouvnal. 133. 127-153 (1994)

    • Related Report
      1994 Annual Research Report
  • [Publications] Yoshyuki Kitaoka: "Finite arithmetic subgroups of GLn,III" Proc.Indian Acad. Sci.104. 201-206 (1994)

    • Related Report
      1994 Annual Research Report

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Published: 1994-04-01   Modified: 2016-04-21  

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