体上の双曲的代数曲線の数論的基本群のカスプ化の研究

• Project/Area Number: 06J03446
• Research Category: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 国内
• Research Field: Algebra
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 星 裕一郎 京都大学, 数理解析研究所, 特別研究員(DC1)
• Project Period (FY): 2006 – 2008
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2006)
• Budget Amount: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000); Fiscal Year 2006: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000)
• Keywords: 遠アーベル幾何学 / 数論的基本群 / 双曲的曲線 / 配置空間 / カスプ化 / section予想 / Hodge-Tate性 / p-divisible group

Research Abstract

(1)有限体上の固有双曲的代数曲線の高次配置空間の幾何学的pro-1基本群のカスプ化という問題に対する技術的な障害を克服し、それまで必要だと考えられていた「tripod-preserving性」という仮定を排除することができた。また、その系として、有限体上の固有双曲的代数曲線の(カスプの部分だけpro-1となっている)基本群のカスプ化を、有限体上の双曲的曲線に対するGrothendieck予想への玉川安騎男氏の結果を用いることなく実現できることがわかった。このようにscheme論を経由しないで群論的にカスプ化することができるということは興味深い事実であると思われる。なお、この結果について、京都大学数理解析研究所で行われた研究集会で講演を行った。
(2)p進局所体上の固有双曲的曲線に対する「section予想」への一つのアプローチとして、「基本群のsectionのHodge-Tate性」について研究を行った。指導教員である望月新一氏と共同で曲線のspecial fiberの上である性質を満たすsectionのHodge-Tate性について、また、その後、数論的基本群の絶対的な同型写像でHodge-Tate性が保たれるかという問題について研究を行い、「基本群のsectionのHodge-Tate性」という性質に対する深い理解を得ることができた。
(3)p進局所体上の固有双曲的曲線の基礎体の最大馴分岐拡大体上定義された点列の収束性について研究を行った。証明のための基本的な事実の確認を終え、現在この研究の本質的なステップの一つであるTateの定理(p-divisible groupのgeneral fiberの間の写像が元のp-divisible group全体に拡張されるという事実)のtruncated版について研究中である。