| Research Abstract |
私の研究課題である「非可換幾何的視点からの離散群とエタール亜群の研究」に基づき、今年度、得られた結果について書く.なお、これに関する論文は執筆中であるが口頭では発表した。可算離散群には,coarse equivalenceを除いて一意的に,群作用不変な固有距離が入ることがよく知られており,二つの可算離散群が互いにcoarsely equivalentであるというのは,それぞれに,群作用不変な固有距離を入れた距離空間として,互いにcoarsely equivalentであると定義される.可算離散群に対して,coarsely equivalent不変な量や概念およびcoarsely equivalentのもとでの分類などを研究することが幾何学的群論と呼ばれるものである.ところで,二つの可算離散群が互いにcoarsely equivalentであることは,ある二つの擬群が森田同値であることだと理解できることが考察できる(M.Gromovの定理の変種),このcoarse equivalenceの言い換えは,幾何学的群論の研究においては,あまり利用されていない孤立した結果であったように思う.しかし,以下の定理を示す際には,非常に強力な手段として用いた.
定理二つの可算離散群が互いにcoarsely equivalentであるとする.
このとき,一方のL2不変量が自明ならば,もう一方のそれも自明である.
ここで、L2不変量とはNovikov-Shubin不変量やL2ベッチ数を意味する.これらの結果は,群により強い制限をおいた元では,Pansuなどにより知られており,それを一般的な場合に拡張したものになっている.一方,証明方法は彼のものとはまったく異なり,私の使った定理の証明法は,擬群論の発展を同時に促すものであることも優位な点である.
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