熱場の量子論の数学的解析

• Project/Area Number: 09J01650
• Research Category: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 国内
• Research Field: Basic analysis
• Research Institution: Hokkaido University
• Principal Investigator: 松澤 泰道 北海道大学, 大学院・理学研究院, 特別研究員(PD)
• Project Period (FY): 2009 – 2011
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2011)
• Budget Amount: ¥2,100,000 (Direct Cost: ¥2,100,000); Fiscal Year 2011: ¥700,000 (Direct Cost: ¥700,000); Fiscal Year 2010: ¥700,000 (Direct Cost: ¥700,000); Fiscal Year 2009: ¥700,000 (Direct Cost: ¥700,000)
• Keywords: Polish群 / 両側不変距離 / 無限次元ユニタリ群 / 有限von Neumann環 / 位相群の埋め込み / 熱場の量子論 / 有限von Neumann代数 / 非有界作用素代数 / テンソル圏 / 非有界作用素 / 無限次元Lie群 / 無限次元Lie代数 / 非可換積分

Research Abstract

京都大学の安藤浩志氏と共同でSorin Popa氏が2007年にInventiones Mathematicaeで提起した位相群の埋め込み問題について研究を行った.具体的には与えられたPolish群がいつ有限von Neumann環のユニタリ群に埋め込めるか特徴づけを与えよ,という問題を考察した.Popa氏は氏のコサイクル超剛性定理を述べる際のtarget groupとしてこのような群を採用し,有限型Polish群と呼んだ.自明な考察から有限型Polish群は(1)無限次元Hilbert空間上のユニタリ群に埋め込め,更に(2)compatibleな両側不変距離を持つ.(2)は有限von Neumann環がトレースを持つことから従う.Polish群がこの2つの条件を持てば有限型か,というのがPopa氏の問題である.我々は昨年度,局所コンパクト群とamenable群の場合にこの問題を肯定的に解いた.一方で具体的な例はあまり知られていなかった.Popa氏も自明な例(可換群,離散群,コンパクト群)を挙げる以外に特に例を構成していない.我々は実際に有限型Polish群の例を見つけることに成功した.(1)可分な無限次元Hilbert空間上のユニタリ作用素でHilbert-Schmidt作用素の差を除いて恒等作用素なもの全体の成す群.(2)II_∞型von Neumann環のユニタリ元でL^2の差を除いて恒等作用素なもの全体の成す群.(3)性質(T)を持つvon Neumann環の自己同形群など.それに対対して超有限II_1型因子環の自己同形群は有限型Polish群ではない.物理学に現れるどのような無限次元群が有限型Polish群かどうか判定すること,及びPopaの問題を一般の場合に解くことは今後の課題である.

Research Products

• [Journal Article] On Polish Groups of Finite Type (2012)
  • Author(s): 松澤泰道, 安藤浩志
  • Journal Title: Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences Volume: 48(掲載確定)
  • NAID: 110009424735
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Existence of Infinite Dimensional Lie Algebra for a Unitary Group on a Hilbert Space and Related Aspects (2012)
  • Author(s): 松澤泰道, 安藤浩志
  • Journal Title: Banach Center Publications Volume: 96(掲載確定)
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Lie Group-Lie Algebra Correspondences of Unitary Groups in Finite von Neumann Algebras (2011)
  • Author(s): 松澤泰道, 安藤浩志
  • Journal Title: Hokkaido Mathematical Journal Volume: (掲載確定)
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Canonical Commutation Relations and Time Operators (2010)
  • Author(s): 松澤泰道
  • Journal Title: RIMS Kokyuroku Bessatsu Volume: B16 Pages: 127-134
  • Peer Reviewed
• [Presentation] Popaの埋め込み問題について (2012)
  • Author(s): 松澤泰道
  • Organizer: 第8回数学総合若手研究集会
  • Place of Presentation: 北海道大学(札幌市)(招待講演)
  • Year and Date: 2012-02-27
• [Remarks]
  • URL: https://www.sci.hokudai.ac.jp/~s073035/
• [Remarks]
  • URL: https://www.sci.hokudai.ac.jp/~s073035/
• [Remarks]
  • URL: http://www,sci,hokudai,ac,jp/~s073035/