アウスランダーライテン理論における既約加群の役割について

• Project/Area Number: 11874006
• Research Category: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Algebra
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 宇野 勝博 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (70176717)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 山根 宏之 大阪大学, 大学院・理学研究科, 講師 (10230517) ; 今野 一宏 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (10186869) ; 臼井 三平 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (90117002) ; 飛田 明彦 崎玉大学, 教育学部, 助教授 (50272274) ; 脇 克志 弘前大学, 理工学部, 助手 (30250591)
• Project Period (FY): 1999 – 2000
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2000)
• Budget Amount: ¥2,200,000 (Direct Cost: ¥2,200,000); Fiscal Year 2000: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000); Fiscal Year 1999: ¥1,200,000 (Direct Cost: ¥1,200,000)
• Keywords: ブロック多元環 / 群環 / アウスランダー・ライテン / 既約加群 / ランク多様体 / 対称群 / コモホロジー群 / 交代群

Research Abstract

以下の場合に、群環のいわゆるワイルドな表現型をもつブロック多元環上の既約加群は、アウスランダーライテングラフの端に位置することが証明できた。
(1)有限シュバレー群に対し、素数が定義体の標数の場合
(2)有限シュバレー群に対し、素数が定義体の標数でなく、かつ、いわゆるリニアである場合
(3)対称群、交代群とその被覆群の場合
(4)いくつかの散在型有限単純群の場合
しかし、F4型の有限シュバレー群で定義体の標数が2で群環の標数がリニアでないとき、また、ラドバリスの散在型単純群の被覆群のときには、アウスランダーライテングラフの端に位置しない既約加群が存在することも分かった。なお、これらのときは、いずれもその既約加群は、アウスランダーライテングラフにおいて端から2番目の場所に位置する。一方、一般の有限群の場合に有限単純群、あるいは、その被覆群の場合に問題を帰着できることも証明されており、有限単純群の分類定理を用いると上記の結果により一般の場合にも、ほとんどの場合(上の二つの群が関与しない場合)既約加群は、アウスランダーライテングラフの端に位置することが期待できる。
以下の場合に群環のアウスランダーライテングラフの各連結成分における既約加群の個数が高々1個であることが証明できた。
(1)有限シュバレー群に対し、素数が定義体の標数の場合
(2)群のシロー2部分群が可換で素数が2の場合
(3)対称群の場合
また、群環の不足群の位数が4であるブロック多元環について、アウスランダーライテングラフの端に位置し、かつ、剛性をもつ加群の特徴付けを行い、それを用いてこのようなブロック多元環の間の導来同値の再構成を行った。

Research Products

• [Publications] Shigeto Kauata,Gerhard Mrchler,Katsuhiro Uno: "On simple modules in the Auslander-Reiten components of finite groups"Math.Zeitschrift. 234・2. 375-393 (2000)
• [Publications] Shigeto Kauata,Gerhard Mrchler,Katsuhiro Uno: "On Auslander-Reiten components and simple modules for finite groups of Lie type"OsakaJ.Math.. 38・1. 1-6 (2001)
• [Publications] C.Bessenrodt,Katsuhiro Uno: "Character Relations and simple modules in the Auslander-Reiten graph of the symmetric groups and their covering groups"Algebra and Representation Theory. (発表予定).
• [Publications] Tetsuro Okuyama,Katsuhiro Uno: "On the vertices of modules in the Auslander-Reiten quiver, III"Advances in Math.(Kinokuniya). (発表予定).
• [Publications] Naoko Kunugi,Katsushi Waki: "Derived equivalences for the 3-dimensional special unitary groups in non-defining characteristic"J.of Algebra. (発表予定).
• [Publications] Shigeto Kawata: "On simple modules in the Auslander-Reiten components of finite groups"Mathematsche Zeitschrift. (発表予定).
• [Publications] Christine Bessenrodt: "Character relations and simple modules in the Auslander-Reiten graph of the symmetric groups and their covering groups"Algebras and Representation Theory. (発表予定).
• [Publications] Shigeo Koshitani: "The Loewy structure of the projective nodules of the Mathiew group M_<12> and its automorphism group in characteristic 3"Communications in Algebra. 27・1. 1-36 (1999)
• [Publications] Shigeo Koshitani: "The Green correspondents of the Mathiew group M_<12> in characteristic 3"Communications in Algebra. 27・1. 37-66 (1999)
• [Publications] Hiroyuri Yamane: "On defining relations of affine Lie superalgebras and affine guantized universal enveloping algebras"Publications LIMS Kyoto University. 35・3. 321-390 (1999)