非圧縮性粘性流体の基礎方程式の研究

• Project/Area Number: 11874026
• Research Category: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Basic analysis
• Research Institution: Tohoku University
• Principal Investigator: 小薗 英雄 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (00195728)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 長澤 壮之 (長澤 壯之) 東北大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (70202223) ; 堤 誉志雄 (堤誉 志雄) 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (10180027) ; 高木 泉 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (40154744)
• Project Period (FY): 1999 – 2001
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2001)
• Budget Amount: ¥1,200,000 (Direct Cost: ¥1,200,000); Fiscal Year 2001: ¥600,000 (Direct Cost: ¥600,000); Fiscal Year 2000: ¥600,000 (Direct Cost: ¥600,000)
• Keywords: ナビエ・ストークス方程式 / エネルギー減衰 / ストレステンソル / 基本解 / L^p-L^q評価 / 外部問題 / 伴流領域 / ストークス流 / オイラー方程式 / ベゾフ空間 / 調和解析 / ソボレフの不等式 / 爆発解 / ストークス作用素 / 分数べき / 補間定理 / 時間大域解

Research Abstract

Navier-Stokes方程式の解の安定性の解析にはStokes作用素Aに加えて,変数係数の低階の微分作用素を含んだ項Bを摂動として処理しなければならない.外部問題の場合,よく知られた半群生成の摂動論は役に立たない.何故ならば,作用素A+Bのスペクトルの存在範囲をAのそれを不変にする様に摂動させなければならないからである.その際,関数空間の選択に注意を払う必要がある.定常解の存在と安定性の問題は斉次Sobolev空間における考察でひと段落したものの,3次元外部領域の場合はnet forceがゼロであるという不自然な条件は依然そのままであった.これを克服するためにはStokes作用素が全単射であり,かつスケール不変則を満たすような新たな関数空間を見い出さねばならなかった.その試みとして,まずFourier変換,特異積分作用素が使える全空間R^nにおいてMorrey空間を実補間した空間を導入し,Navier-Stokes方程式を解くことに成功した.これまでは複素補間を用いて、Navier-Stokes方程式の強解(古典解)を構成したが、Riesz-Thorinの不等式に代表される様に,複素補間理論はシャープな補間不等式の係数が得られる反面,両立対の空間は広がらない.このことは,すべてのL^γ(1<γ<∞)において線形化方程式(Stokes方程式)が可解である内部問題に関しては障害とならなかった.一方,実補間空間の利点は、両立対の空間からより広い空間が得られることであり,線形化方程式の可解性に制限のある外部問題に実補間空間理論を導入したことは,画期的な試みであった.応用として,Lorentz空間L^<p,q>(Ω)において外部定常解を構成し,更にnet forceの条件を仮定することなく,その安定性を示した.

Research Products

• [Publications] H.Kozono: "Weak solutions of the Navier-Stokes ofuations with the test functions in L^n_w"Tohoku Math. J. (2). 53. 55-79 (2001)
• [Publications] H.Kozuno: "Rapid tone decay and not torce to the obsta clco by the Stokes flow in exterior domains"Math Ann. 320. 709-730 (2001)
• [Publications] H.Kozono, T.Ogawa, H.Tanisaka: "Well-Posedness for the Benjamin equations"J. Korcan Math. Soc. 38. 1205-1234 (2001)
• [Publications] H.Kozuno: "On well-poxdness of the Navier-Stokes equations"Adv, Math. Fleud Mech. 207-236 (2001)
• [Publications] H.Kozuno, T.Ogawa, Y.Taniuemi: "The critical Sobolev inequalities and the regulaity criherion"Math. Z..
• [Publications] 小薗 英雄: "Navier-Stokes方程式"数学.
• [Publications] Kozono,H.,Taniuchi,Y.: "Bilinear estimates on BMO and the Navier-Stokes equations"Math Z.. 235. 173-194 (2000)
• [Publications] Kozono,H.,Taniuchi,Y.: "Limitting case of the Sobolev inequality on BMO, with application to the Euler equation."Commu.Math.Phy.. 214. 153-197 (2000)
• [Publications] Kozono,H.: "Asymptotic stability of large solutions with large perturbation to the Navier-Stokes equations"J.Func.Anal.. 176. 191-200 (2000)
• [Publications] Kozono H.,Sohr H.: "On global strong solutions of the Navier-Stokes equations in 4-5D"Am Inst, Henri Poincai Analyse Nonlinearies. 16. 535-561 (1999)
• [Publications] Kozono H.,Yamazaki M.: "Uniqueness criterion of weak solutions to the stationary Navier-Stokes equations in exterior domains"Nonlinear Analysis. 38. 759-770 (1999)
• [Publications] Ozawa T.,Tsutaya K.,Tsutsumi Y.: "Well-posedness in energy space for the Cauchy problem of KG Eq."Math Ann.. 313. 127-140 (1999)
• [Publications] Nagasawa T.: "Construction of weak solution of the Navier-Stokes equations on Riemanian manifold by mimizing variational functionals"Adv. Math. Sci. Appl.. 9. 51-71 (1999)