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測度距離空間のcoarse幾何学

Research Project

Project/Area Number 11J01672
Research Category

Grant-in-Aid for JSPS Fellows

Allocation TypeSingle-year Grants
Section国内
Research Field Geometry
Research InstitutionTohoku University

Principal Investigator

北別府 悠  東北大学, 大学院理学研究科, 特別研究員(PD)

Project Period (FY) 2011 – 2013
Project Status Completed (Fiscal Year 2013)
Budget Amount *help
¥1,900,000 (Direct Cost: ¥1,900,000)
Fiscal Year 2013: ¥600,000 (Direct Cost: ¥600,000)
Fiscal Year 2012: ¥600,000 (Direct Cost: ¥600,000)
Fiscal Year 2011: ¥700,000 (Direct Cost: ¥700,000)
KeywordsCoarse Ricci曲率 / 分裂定理 / Caley grah / Wasserstein空間 / Gromov-Hausdorff収束 / Bishop-Gromov不等式 / ランダムウォーク / 勾配流
Research Abstract

今年度は前年度までに得られていた結果を具体的な場合で考察することに重点を置いた。特にcoarse Ricci曲率が効果的に働くと考えられている離散的な空間、特にCayley graphへの応用を目指して研究を進めた。
リーマン幾何学でよく知られている分裂定理を一般の距離空間に曲率条件を仮定した上でGigliが証明した。その証明方法はやはり多様体の場合と同様にBusemann関数の挙動、特に調和関数であることを本質的に使って示すものである。しかしもっとも単純であると考えられるもののひとつである整数格子上ですら、Busemann関数は調和関数にならず、同様の手法は使えないと考えていた。そこでグラフ上のDirichlet問題を解くことで調和関数をグラフ上に構成し、その関数を用いて弱い意味での分裂定理を証明しようとした。そのためにcoarse Ricci曲率の下限条件からグラフのある領域上の調和関数の勾配評価を得た。これは正曲率の場合での結果であるので、非有界なグラフにはそのままでは応用が出来ず、研究が行き詰ってしまった。
そこでもう一度Busemann関数の挙動を調べたところ、調和関数には成らないがある非常に性質のよい関数になることが示された。これを用いると与えられた直線上のrandom walkのL1 transportationを具体的に記述することが出来る。これを用いてCayley graphを集合として、適切な二つの集合の直積として表せることがわかった。
Coarse Ricci曲率の幾何学的な意味がこれにより明らかになればますます研究が進み、幾何群論の研究とも交差するよい対象になると信じている。

Strategy for Future Research Activity

(抄録なし)

Report

(3 results)
  • 2013 Annual Research Report
  • 2012 Annual Research Report
  • 2011 Annual Research Report
  • Research Products

    (11 results)

All 2013 2012 2011

All Journal Article (1 results) (of which Peer Reviewed: 1 results) Presentation (10 results)

  • [Journal Article] Lower bound of coarse Ricci curvature on metric measure spaces and eigenvalues of Laplacian2013

    • Author(s)
      Yu Kitabeppu
    • Journal Title

      Geometrae Dedicata

      Volume: (掲載確定) Issue: 1 Pages: 99-107

    • DOI

      10.1007/s10711-013-9844-3

    • Year and Date
      2013-03-10
    • Related Report
      2012 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Presentation] 確率測度空間上のRicci曲率について2012

    • Author(s)
      北別府悠
    • Organizer
      多様体上の微分方程式
    • Place of Presentation
      金沢大学サテライトプラザ(招待講演)
    • Year and Date
      2012-11-16
    • Related Report
      2012 Annual Research Report
  • [Presentation] p-coarse Ricci curvature on the space of probability measures2012

    • Author(s)
      北別府悠
    • Organizer
      Geometry and probability
    • Place of Presentation
      山形大学ゆうキャンパスステーション(招待講演)
    • Year and Date
      2012-10-20
    • Related Report
      2012 Annual Research Report
  • [Presentation] Coarse Ricci curvature on metric measure space2012

    • Author(s)
      北別府悠
    • Organizer
      The 4-th Geometry meeting
    • Place of Presentation
      Euler Institute
    • Year and Date
      2012-08-21
    • Related Report
      2012 Annual Research Report
  • [Presentation] コンパクト距離空間上の縮小半群と位相構造2012

    • Author(s)
      北別府悠
    • Organizer
      幾何セミナー
    • Place of Presentation
      東北大学
    • Year and Date
      2012-07-17
    • Related Report
      2012 Annual Research Report
  • [Presentation] 測度距離空間上の coarse Ricci 曲率2012

    • Author(s)
      北別府悠
    • Organizer
      微分幾何学セミナー
    • Place of Presentation
      筑波大学(招待講演)
    • Year and Date
      2012-05-29
    • Related Report
      2012 Annual Research Report
  • [Presentation] 測度距離空間上の coarse Ricci 曲率2012

    • Author(s)
      北別府悠
    • Organizer
      幾何学セミナー
    • Place of Presentation
      九州大学(招待講演)
    • Year and Date
      2012-04-20
    • Related Report
      2012 Annual Research Report
  • [Presentation] Bishop-Gromov不等式とcoarse Ricci曲率2012

    • Author(s)
      北別府悠
    • Organizer
      日本数学会2012年度年会
    • Place of Presentation
      東京
    • Year and Date
      2012-03-28
    • Related Report
      2011 Annual Research Report
  • [Presentation] 測度距離空間のCoarse Ricci曲率2012

    • Author(s)
      北別府悠
    • Organizer
      第8回数学総合若手研究集会
    • Place of Presentation
      北海道
    • Year and Date
      2012-02-27
    • Related Report
      2011 Annual Research Report
  • [Presentation] 測度距離空間のcoarse Ricci曲率2011

    • Author(s)
      北別府悠
    • Organizer
      第58回幾何学シンポジウム
    • Place of Presentation
      岡山
    • Year and Date
      2011-08-30
    • Related Report
      2011 Annual Research Report
  • [Presentation] Coarse Ricci curvature on doubling spaces2011

    • Author(s)
      北別府悠
    • Organizer
      Geometry and Probability
    • Place of Presentation
      熊本
    • Year and Date
      2011-07-16
    • Related Report
      2011 Annual Research Report

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Published: 2011-12-12   Modified: 2024-03-26  

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