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空間型の間の等長はめ込みとnull曲線の幾何

Research Project

Project/Area Number 11J09534
Research Category

Grant-in-Aid for JSPS Fellows

Allocation TypeSingle-year Grants
Section国内
Research Field Geometry
Research InstitutionTokyo Institute of Technology
Research Fellow 本田 淳史  東京工業大学, 大学院・理工学研究科(理学系), 特別研究員(DC2)
Project Period (FY) 2011 – 2012
Project Status Completed (Fiscal Year 2012)
Budget Amount *help
¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,300,000)
Fiscal Year 2012: ¥600,000 (Direct Cost: ¥600,000)
Fiscal Year 2011: ¥700,000 (Direct Cost: ¥700,000)
Keywords等長はめ込み / 特異点 / 波面 / 外的平坦曲面 / 焦面 / ミニツイスター空間 / 交差帽子 / 非等方的極小曲面 / null曲線 / 限界補足面
Research Abstract

2次元空間型から同じ曲率を持つ3次元空間型への(特異点を許容した)等長はめ込みの性質を,測地線の空間の幾何構造を用いて調べた.
まず,2次元球面から3次元球面への波面としての特異点を許容した等長はめ込み,すなわち外的平坦波面を調べ,前年度に得られた3次元球面の外的平坦閉波面の分類を弱完備な外的平坦波面へと一般化した.本申請研究の目的の一つであったカスプ辺でない特異点の個数の評価に対して,コンパクトな外的平坦波面でカスプ辺のみを持つものが存在することがわかった.一方で,前年度に外的平坦波面の焦面もまた外的平坦波面となることを導いていたが,その逆問題「焦面が外的平坦である曲面は外的平坦か?」を考え,反例が存在することがわかった.そこで,そのような曲面を分類し,加えてWeingartenである曲面は回転面かひとつの主曲率が一定である曲面であることを示した.さらに,それらの波面への一般化を考え,一つの主曲率が一定である波面で弱完備であるものを分類し,それらは向き付け可能であることを導いた.この手法を応用して,3次元球面の弱完備な外的平坦波面は余向き付け可能ならば向き付け可能であることを示した.また,3次元球面の測地線の空間の幾何構造を調べ,そのミニツイスター空間としての複素構造に付随する不定値計量の性質を用いて,3次元球面の部分多様体の様々な特徴づけを導いた.
上記に加えて,前年度に引き続き交差帽子型の特異点の幾何学的不変量何算無限個存在する)を調べ,それらの不変量のうち2次の不変量はすべて内在的であり,3次以上のものには内在的でないものが存在することを示した(長谷川氏,直川氏,梅原氏,山田氏との共同研究).また,Wulff図形が凸とは限らないある種のエネルギー密度関数に対する非等方的極小曲面を調べ,とくにそれらとミンコフスキー空間内の平均曲率0曲面とが対応することを導いた(小磯氏,田中氏との共同研究).

Report

(2 results)
  • 2012 Annual Research Report
  • 2011 Annual Research Report

Research Products

(19 results)

All 2013 2012 2011 Other

All Journal Article (3 results) (of which Peer Reviewed: 3 results) Presentation (16 results)

  • [Journal Article] Note on the Space of Oriented Geodesies in the three-Sphere

    • Author(s)
      Atsufumi Honda
    • Journal Title

      RIMS Kokyuroku Bessatsu

      Volume: (掲載確定)

    • Related Report
      2012 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Non-convex anisotropic surface energy and zero mean curvature surfaces in the Lorentz-Minkowski space

    • Author(s)
      A. Honda, M. Koiso, Y. Tanaka
    • Journal Title

      Journal of Math-for-Industry

      Volume: (掲載確定)

    • Related Report
      2012 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Isometric immersions of the hyperbolic plane into the hyperbolic space

    • Author(s)
      Atsufumi Honda
    • Journal Title

      Tohoku Mathematical Journal

      Volume: (掲載確定)

    • Related Report
      2011 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Presentation] ひとつの主曲率が一定である弱完備な波面2013

    • Author(s)
      本田淳史
    • Organizer
      日本数学会2013年度年会
    • Place of Presentation
      京都大学
    • Year and Date
      2013-03-20
    • Related Report
      2012 Annual Research Report
  • [Presentation] Transformations and orientability of extrinsically flat surfaces2013

    • Author(s)
      Atsufumi Honda
    • Organizer
      Mini workshop
    • Place of Presentation
      東京工業大学(招待講演)
    • Year and Date
      2013-03-10
    • Related Report
      2012 Annual Research Report
  • [Presentation] 外的平坦曲面と測地線の空間2013

    • Author(s)
      本田淳史
    • Organizer
      幾何セミナー
    • Place of Presentation
      熊本大学(招待講演)
    • Year and Date
      2013-01-17
    • Related Report
      2012 Annual Research Report
  • [Presentation] 外的平坦曲面と焦面の逆問題の周辺の話題2012

    • Author(s)
      本田淳史
    • Organizer
      特異点論の真髄の探求
    • Place of Presentation
      京都大学数理解析研究所(招待講演)
    • Year and Date
      2012-11-27
    • Related Report
      2012 Annual Research Report
  • [Presentation] 主曲率のひとつが一定である完備な曲面上の臍点2012

    • Author(s)
      本田淳史
    • Organizer
      部分多様体幾何とリー群作用2012
    • Place of Presentation
      東京理科大学(招待講演)
    • Year and Date
      2012-09-04
    • Related Report
      2012 Annual Research Report
  • [Presentation] 主曲率のひとつが一定である完備な曲面2012

    • Author(s)
      本田淳史
    • Organizer
      第59回幾何学シンポジウム
    • Place of Presentation
      九州大学(招待講演)
    • Year and Date
      2012-08-28
    • Related Report
      2012 Annual Research Report
  • [Presentation] 一つの主曲率が一定である完備な曲面2012

    • Author(s)
      本田淳史
    • Organizer
      室蘭幾何学研究集会
    • Place of Presentation
      室蘭工業大学(招待講演)
    • Year and Date
      2012-05-19
    • Related Report
      2012 Annual Research Report
  • [Presentation] 空間型の間の等長はめ込み2012

    • Author(s)
      本田淳史
    • Organizer
      数理科学談話会
    • Place of Presentation
      室蘭工業大学(北海道)(招待講演)
    • Year and Date
      2012-01-26
    • Related Report
      2011 Annual Research Report
  • [Presentation] 双曲平面の双曲空間への等長はめ込みと向き付けられた測地線の空間の幾何構造2011

    • Author(s)
      本田淳史
    • Organizer
      東京理科大学理工学部数学科談話会
    • Place of Presentation
      東京理科大学(東京)(招待講演)
    • Year and Date
      2011-12-16
    • Related Report
      2011 Annual Research Report
  • [Presentation] 3次元球面の外的平坦曲面と向き付けられた測地線の空間の幾何構造2011

    • Author(s)
      本田淳史
    • Organizer
      東工大幾何学セミナー
    • Place of Presentation
      東京工業大学(東京)(招待講演)
    • Year and Date
      2011-12-15
    • Related Report
      2011 Annual Research Report
  • [Presentation] 3次元球面の外的平坦曲面と測地線の空間の幾何構造2011

    • Author(s)
      本田淳史
    • Organizer
      写像の特異点論と幾何学およびトポロジーと
    • Place of Presentation
      京都大学(京都)(招待講演)
    • Year and Date
      2011-11-30
    • Related Report
      2011 Annual Research Report
  • [Presentation] 3次元球面の外的平坦曲面と向き付けられた測地線の空間の幾何構造2011

    • Author(s)
      本田淳史
    • Organizer
      部分多様体論・湯沢2011
    • Place of Presentation
      湯沢グランドホテル(新潟)(招待講演)
    • Year and Date
      2011-11-24
    • Related Report
      2011 Annual Research Report
  • [Presentation] 空間型の外的平坦曲面と向き付けられた測地線の空間の幾何構造2011

    • Author(s)
      本田淳史
    • Organizer
      広島幾何学研究集会2011
    • Place of Presentation
      広島大学(広島)(招待講演)
    • Year and Date
      2011-10-05
    • Related Report
      2011 Annual Research Report
  • [Presentation] Extrinsically flat surfaces of space forms and the geometric structure on the space of oriented geodesies2011

    • Author(s)
      本田淳史
    • Organizer
      VI International Meeting on Lorentzian Geometry
    • Place of Presentation
      Granada University(スペイン)
    • Year and Date
      2011-09-07
    • Related Report
      2011 Annual Research Report
  • [Presentation] 空間型の外的平坦曲面と向き付けられた測地線の空間の幾何構造2011

    • Author(s)
      本田淳史
    • Organizer
      首都大学東京幾何学セミナー
    • Place of Presentation
      首都大学東京(東京)(招待講演)
    • Year and Date
      2011-06-17
    • Related Report
      2011 Annual Research Report
  • [Presentation] 向き付けられた測地線の空間の幾何構造とその応用2011

    • Author(s)
      本田淳史
    • Organizer
      特異点論とその応用
    • Place of Presentation
      大分工業高等専門学校(大分)(招待講演)
    • Year and Date
      2011-05-31
    • Related Report
      2011 Annual Research Report

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Published: 2011-12-11   Modified: 2016-04-21  

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