非線形発展方程式の周期解の分岐現象

Research Project

Project/Area Number	12740106
Research Category	Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
Allocation Type	Single-year Grants
Research Field	Global analysis
Research Institution	Tokyo Institute of Technology
Principal Investigator	川中子正東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助教授 (20214661)
Project Period (FY)	2000 – 2001
Project Status	Completed (Fiscal Year 2001)
Budget Amount *help	¥400,000 (Direct Cost: ¥400,000) Fiscal Year 2001: ¥200,000 (Direct Cost: ¥200,000) Fiscal Year 2000: ¥200,000 (Direct Cost: ¥200,000)
Keywords	強制振動系 / 自励振動系 / 分岐現象 / 精度保証 / 分岐定理 / 周期解 / 偏微分方程式 / 対称性破壊分岐 / ニュートン法 / アルゴリズム / 高精度近似解
Research Abstract	本研究の目標は、振動系を記述する偏微分方程式の周期解の対称性破壊分岐現象を数学的に正当化するための精度保証アルゴリズムを確立することである。まず、アルゴリズムの理論的枠組みとなる基礎定理(ニュートン法の収束定理・分岐定理・陰関数定理等)を偏微分方程式に直接適用できるように(すなわち、non-Frechet mapsに直接適用できるように)拡張・一般化し、論文にしたが、これは雑誌Electronic Journal of Defferential Equationsで近く出版される予定である。また、本研究の精度保証アルゴリズムの詳細をfull paperとしてまとめた(現在学術雑誌に投稿中)。これは、半線形波動方程式への応用を具体例として解説したものである。研究の進展面については、次のような大きな成果があった。本研究では、強制振動系についてこれまで考察してきたが、このための方法は自励振動系にも本質的に適用可能であることがわかった。自励振動系の場合には周期が変化するため、もちろん技術的には難しくなるが、物理・工学的にも重要な系である。特に、自励振動系の周期倍分岐現象は、乱流現象が始まる直前に起こる重要な現象であるが、この現象が本研究の方法でうまく解析できることがわかった。その概要は京都大学数理解析研究所考究録で近く出版される冊子「Computer Algebra -- Algorithms, Implementations and Applications」の筆者の記事「Applications of computer algebra tosome bifurcation problems in nonlinear vibrations」の第5節に記述した。