シンボリックリース環とコックス環の特異点論

• Project/Area Number: 12J00745
• Research Category: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 国内
• Research Field: Algebra
• Research Institution: The University of Tokyo (2014); Nagoya University (2012-2013)
• Principal Investigator: 三内 顕義 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特別研究員(PD)
• Project Period (FY): 2012 – 2014
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2014)
• Budget Amount: ¥3,630,000 (Direct Cost: ¥3,300,000、Indirect Cost: ¥330,000); Fiscal Year 2014: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000); Fiscal Year 2013: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000); Fiscal Year 2012: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000)
• Keywords: ordinary / abelian variety / Frobenius map / p-rank / コックス環 / K3曲面 / 自己同型 / Frobenius写像 / Abelian・variety / F-regular / F-pure / log terminal / log canonical / F-signature / log Fano / minimal log discrepancy

Outline of Annual Research Achievements

今年度は主に射影多様体の構造層のフロベニウス押出しの直和分解について研究した。まずアーベル多様体の場合はそのp-rankに応じて構造層のフロベニウス押出しの直和分解が起こることがわかった。
これによってアーベル多様体に関しては構造層のフロベニウス押出しの直和分解はp-rankの情報を含むことがわかった。特にp-rankが最大の時、すなわちordinaryなときは構造層のフロベニウス押出しは直線束の直和に分解されるがこれは多少の仮定の下でordinaryなアーベル多様体の特徴付けを与えることもわかった。つまり小平次元が非負な滑らかな射影多様体Xに対し、その構造層のフロベニウス押出しが直線束の直和に分解するのはXがordinaryなアーベル多様体である時に限る、ということがわかった。構造層のフロベニウス押出しの直和分解はトーリック多様体の時はよく知られており、また全ての直線束のフロベニウス押出しを考えることで特徴づけを与えることも知られていたが、構造層に限って議論した時に何かしらの幾何学的な条件であるということを示したのはこの結果が初めてで、ある種新しい結果であるといえると思う。またこれ以外にも一年目に研究したdual F-signatureを複体に対して値を返す不変量に自然に拡張し、それをdualizing complexについて考えることで先の結果(F-rationalityの特徴付け)のCohen-Macauleyの条件をはずすことができた。

Research Progress Status

平成26年度が最終年度のため記入しない。

Strategy for Future Research Activity

平成26年度が最終年度のため記入しない。

Research Products

• [Journal Article] Characterization of varieties of Fano type via singularities of Cox rings (2015)
  • Author(s): Akiyoshi Sannai
  • Journal Title: Journal of algebraic geometry Volume: 24 Pages: 159-182
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] On dual F-signature (2013)
  • Author(s): Akiyoshi Sannai
  • Journal Title: International mathematical research notices Volume: 出版確定 Issue: 1 Pages: 197-211
  • DOI: 10.1093/imrn/rnt162
  • Year and Date: 2013-09-18
  • Peer Reviewed
• [Presentation] Ordinary abelian varietyの特徴付けについて (2015)
  • Author(s): Akiyoshi Sannai
  • Organizer: 第6回岡山可換代数表現セミナー
  • Place of Presentation: 岡山大学(岡山県岡山市)
  • Year and Date: 2015-02-17
• [Presentation] A characterization of ordinary abelian varieties in positive characteristic (2014)
  • Author(s): Akiyoshi Sannai
  • Organizer: 東京大学代数幾何学セミナー
  • Place of Presentation: 東京大学(東京都目黒区)
  • Year and Date: 2014-12-15
• [Presentation] Invariant subrings of Cox rings of K3 surfaces (2014)
  • Author(s): Akiyoshi Sannai
  • Organizer: 第36回可換環論シンポジウム
  • Place of Presentation: IPC 生産性国際交流センター(神奈川県三浦郡葉山町)
  • Year and Date: 2014-11-22
• [Presentation] Invariant subrings of Cox rings of K3 surfaces (2014)
  • Author(s): Akiyoshi Sannai
  • Organizer: 東京大学代数幾何学セミナー
  • Place of Presentation: 東京大学(東京都目黒区)
  • Year and Date: 2014-06-30
• [Presentation] Dual F-signature (2013)
  • Author(s): Akiyoshi Sannai
  • Organizer: The commutative algebra of singularity in birational geometry
  • Place of Presentation: MSRI, Berkeley, CA, USA
  • Year and Date: 2013-05-08
  • Invited
• [Presentation] 日本数学会2013年度年会 (2013)
  • Author(s): 三内顕義
  • Organizer: F-特異点の数値的特徴付け
  • Place of Presentation: 京都大学
  • Year and Date: 2013-03-20
• [Presentation] Cox環とSymbolic Rees環の特異点論 (2013)
  • Author(s): 三内顕義
  • Organizer: 第11回アフィン代数幾何研究集会
  • Place of Presentation: 関西学院大学大阪梅田キャンパス(招待講演)
  • Year and Date: 2013-03-02
• [Presentation] Dual F-signature (2012)
  • Author(s): 三内顕義
  • Organizer: Korea-Japan Joint Conference in Algebraic Geometry
  • Place of Presentation: Korea, Gunsan, Ritz-Plazahotel(招待講演)
  • Year and Date: 2012-08-21