| Project/Area Number |
12J05772
|
|---|
| Research Category |
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
|
| Allocation Type | Single-year Grants |
|---|
| Section | 国内 |
|---|
| Research Field |
Global analysis
|
|---|
| Research Institution | Ritsumeikan University |
|---|
Principal Investigator |
天羽 隆史 立命館大学, 理工学研究科, 特別研究員(DC2)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2012 – 2013
|
| Project Status |
Completed (Fiscal Year 2013)
|
| Budget Amount *help |
¥1,800,000 (Direct Cost: ¥1,800,000)
Fiscal Year 2013: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2012: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000)
|
|---|
| Keywords | 離散Clark-Ocone 公式 / multi—level CLT / Sobolev differentiability-index is the rate of convergence / 有限次元Malliavin解析 / 確率解析学 / Malliavin解析 / 有限次元Mallaivin解析 / Heisenbergの交換関係 / Maruyama-Girsanov公式 / Clark-Ocone公式 / 確率微分方程式のゲージ理論 |
|---|
| Research Abstract |
本研究では無限次元Lie環の表現の立場から確率解析学へアプローチしてきた。Brown 運動の生成するfiltration が持つmartingale 表現定理を精密にしたClark-Ocone公式が知られているが、今回の研究によって、時間に関して離散化したfiltrationに沿った有限次元Wiener汎関数の漸近展開という定式化により、離散Clark-Ocone公式を導入することができた。この離散化公式によって、次の一連の結果を自然に得ることが出来る : 1)離散Clark-Ocone公式による与えられた有限次元Wiener汎関数(の列)の近似に対する誤差解析として、multi-level での中心極限定理、2)離散Clark-Ocone公式による十分滑らかな有限次元Wiener汎関数(列)の1次近似を考えたときの誤差の$N^{-1/2}$-強収束($N$は時間の分割の個数)、3)$f (W_{T})$という形をした1次元的な Wiener 汎関数が"一階以下しか微分出来ない"というようなfractionalな滑らかさしか持たない場合に、離散Clark-Ocone公式によってそのWiener汎関数の1次近似を考えたときの誤差の$N^{-s/2}$-強収束($0 ￥1eq s ￥leq 1$はその fractional regularity)を得ることが出来た。特に、最後の結果については"stationarity"を満たすような Wiener汎関数列に対しても成り立つことまで拡張出来た。さらに、上の全ての結果のアナロジーをPoisson過程に対しても得ることが出来た。
Poincare予想を解決したPerelmanの仕事に付随して、Lott氏が導入した$￥mathcal{L}_{O}$-距離をコストとするような最適輸送問題を考えることが出来るが、桑田和正氏(東工大)との共同研究によって、このコストの単調性に対して確率論的アプローチを遂行し、確率論の強みである停止時刻などの手法を用いることで、曲率の下有界性の条件下で、Lottの単調性に関する結果を非コンパクトなRiemann多様体の場合へ拡張した。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Wiener空間上のHeisenberg代数の表現を用いて離散Clark-Ocone公式を導出することが出来、さらに、それゆえにWiener空間上だけでなくPoisson空間の上でも全くのアナロジーを得ることが出来たので、確率空間上での無限次元Lie環の表現論の立場からの確率解析へのアプローチという立場から見て、成功したと言えるため。
|
| Strategy for Future Research Activity |
Loewner-Kufarev 方程式において、特別な(ランダムな)ベクトル場を導入することによって、ループの空間の上に確率測度が乗ることに気づき、現在はまだ結果を得ることは出来ていないが、この確率測度の下でMalliavin解析を展開することでVirasolo代数と呼ばれる無限次元Lie環の表現を得ることが出来ないか研究中である。
|
Report
(2 results)
Research Products
(9 results)
