擬リーマン対称空間上の数論的解析学

• Project/Area Number: 13874007
• Research Category: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Algebra
• Research Institution: Rikkyo University
• Principal Investigator: 佐藤 文廣 立教大学, 理学部, 教授 (20120884)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 宇澤 達 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (40232813) ; 筧 三郎 立教大学, 理学部, 講師 (60318798) ; 荒川 恒男 立教大学, 理学部, 教授 (60097219) ; 落合 啓之 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (90214163)
• Project Period (FY): 2001 – 2002
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2002)
• Budget Amount: ¥1,800,000 (Direct Cost: ¥1,800,000); Fiscal Year 2002: ¥600,000 (Direct Cost: ¥600,000); Fiscal Year 2001: ¥1,200,000 (Direct Cost: ¥1,200,000)
• Keywords: 擬リーマン対称空間 / アイゼンシュタイン級数 / ポアッソン変換 / 概均質ベクトル空間 / セルバーグ跡公式 / ゼータ関数 / Shimura 対応 / ユニタリ最高ウェイト表現

Research Abstract

1.この研究でまず問題としたのは,(A)擬リーマン対称空間上の数論的アイゼンシュタイン級数とポアッソン変換から得られる佐藤超関数としてのアイゼンシュタイン級数の関係,(B)概均質ベクトル空間に付随する(ディリクレ級数としての)ゼータ関数と超関数値ゼータ関数の関係,という2点を解明することであった.これについて,まだ十分な理解に到達したとはいえないが,概均質ベクトル空間のゼータ関数を弱球等質空間のアイゼンシュタイン級数と読み替えることにより,(B)の問題を(A)の問題に関連付ける研究が進行中である.
2.擬リーマン対称空間上の具体的な数論的関数としてArakawa-SuzukiによるSiegel Eisenstein級数のKoecher-Maass級数の不定値類似を昨年に引き続き研究した.これについては,概均質ベクトル空間のゼータ関数の立場から理論を再構成するとともに,パラメータに関する解析接続についてより精密な結果を得ることができた.また,量指標つきのKoecher-Maass級数への拡張の研究が現在進行中である.(上野隆彦(立教大)との共同研究)
3.関連研究として,分担者荒川は,不定値整数係数原始的2元2次形式の類数の和の評価を,基本単数のノルムが1と-1の場合に分離して,評価を精密化することに成功した.そのために,even Maass波動形式の空間のセルバーグ跡公式の応用として,群GL(2,Z)に関する素測地線定理を証明した.

Research Products

• [Publications] N.Kurokawa, E.-M.Muller-Stuler, H.Ochiai, M.Wakayama: "Kronecker's Jugendtraum and ring sine functions"J.Ramanujan Math.Soc.. 17. 211-220 (2002)
• [Publications] N.Kurokawa, H.Ochiai, M.Wakayama: "Multiple trigonometry and zeta functions"J.Ramanujan Math.Soc.. 17. 101-113 (2002)
• [Publications] T.Arakawa, S.Boecherer: "Vanishing of certain spaces of elliptic modular forms and some applications"J.Reine Angew.Math.. (To appear).
• [Publications] S.Kakei, T.Ikeda, K.Takasaki: "Hierarchy of (2+1)-dimensional nonlinear Schrodinger equation, self-dual Yang Mills equation, and toroidal Lie algebras"Ann.Henri Poincare. 3. 817-845 (2002)
• [Publications] Tuneo Arakawa, Isao Makino, Fumihiro Sato: "Converse theorm for not necessarily cuspidal Siegel modular forms of degree 2 and Saito-Kurokawa lifting"Comment. Math. Univ. St. Pauli. 50. 197-234 (2001)
• [Publications] Hiroyuki Ochiai: "Non-commutative harmonic oscillators and Fuchsian ordinary differential equations"Communications in Mathematical Physics. 217. 357-373 (2001)
• [Publications] Tsuneo Arakawa: "Selberg zeta functions and the Shimura correspondence for Maass wave forms"Proceedings of Japanese-German seminar on explicit structures of modular forms and zeta functions.