計算可能性理論における次数構造の研究とその応用

• Project/Area Number: 13J10409
• Research Category: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 国内
• Research Field: General mathematics (including Probability theory/Statistical mathematics)
• Research Institution: Chiba University
• Principal Investigator: 樋口 幸治郎 (2014-2015) 千葉大学, 理学研究科, 特別研究員(PD); 樋口 幸次郎 (2013) 千葉大学, 理学研究科, 特別研究員(PD)
• Project Period (FY): 2013-04-01 – 2016-03-31
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2015)
• Budget Amount: ¥3,960,000 (Direct Cost: ¥3,300,000、Indirect Cost: ¥660,000); Fiscal Year 2015: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000); Fiscal Year 2014: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000); Fiscal Year 2013: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000)
• Keywords: 次数構造 / マス・プロブレム / ライス性 / ランダムネス / 順序次元 / 集合論 / П01クラス / アルゴリズム的ランダム / 翻訳可能性 / Lindenbaum代数

Outline of Annual Research Achievements

研究の目的として挙げていた通り、本年度は次数や次数構造の諸性質を明らかにした。特に、ライス性に関連した様々なマス・プロブレムの次数の同等性の研究は大いに進められた。昨年度まで得られた成果を論文としてまとめていく過程で、この研究の目的をより明晰にしていき様々な新しい概念を導入した。さらに、ライス性に関するマス・プロブレムの次数の同等性（横山・吉川の性質と名付けられた）として、昨年度までの分配束やブール代数の理論が横山・吉川の性質を持つという結果に加えて、本年度新たに、上半束やハイティンク代数といった理論も横山・吉川の性質を持つことを示し、一方、群・環・体といった理論については横山・吉川の性質が成り立たないことを示した。さらに有限の構造に限った場合には、あらゆる理論が横山・吉川の性質を持つことも明らかにした。さらにこの研究で導入したcomputably represented structureという数学的構造とその間のある種の準同型がなす次数構造がメドヴェジェフ次数構造と同等であることを示し、さらに、翻訳可能性の次数構造との関係を明確にした。これらの研究は、木更津高専の倉橋太志先生や米子高専の堀畑佳宏先生と密に議論を重ねて行った。
本年度は7月のCCA2015、9月にはCTFM2015、数学会、ラムダ計算と論理の晩夏セミナー、11月の数学基礎論若手の会、1月のMLG数理論理学研究集会、山陰基礎論・解析研究集会といった会議に参加し、上記の成果も含め成果発表や参加者と議論を行い研究を大いに深めた。CCA2015とCTFM2015については運営委員の一員として働いた。
本年度は特別研究員として最終年度であったため、論文作成や学会発表のための時間を十分割けず、ドイツのDagstuhlでのセミナーの参加計画を取り消し、また論文作成が完了せず投稿計画を遂行することができなかった。

Research Progress Status

27年度が最終年度であるため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

27年度が最終年度であるため、記入しない。

Research Products

• [Journal Article] Weak theories of concatenation and minimal essentially undecidable theories --- An encounter of WTC and S2S (2014)
  • Author(s): Kojiro Higuchi and Yoshihiro Horihata
  • Journal Title: Archive for Mathematical Logic Volume: 53(7-8) Issue: 7-8 Pages: 835-853
  • DOI: 10.1007/s00153-014-0391-x
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] On effectively closed sets of effective strong measure zero (2014)
  • Author(s): Kojiro Higuchi and Takayuki Kihara
  • Journal Title: Annals of Pure and Applied Logic Volume: 165 Issue: 9 Pages: 1445-1469
  • DOI: 10.1016/j.apal.2014.04.013
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Defining a randomness notion via another (2014)
  • Author(s): Kojiro Higuchi and NingNing Peng
  • Journal Title: Mathematical Logic Quarterly Volume: 60(4-5) Issue: 4-5 Pages: 280-288
  • DOI: 10.1002/malq.201300014
  • Peer Reviewed / Acknowledgement Compliant
• [Journal Article] Inside the Muchnik degrees, Part II : The degree structures induced by tha arithmatiral hiararchy of countably continuous functions (2014)
  • Author(s): Kojiro Higuchi and Takayuki Kihara
  • Journal Title: Annals of Pure and Applied Logic Volume: 165 Issue: 6 Pages: 1201-1241
  • DOI: 10.1016/j.apal.2014.03.001
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Inside the Muchnik degrees, part I : Discontinuity, learnability, and cons tructivism (2014)
  • Author(s): Kojiro Higuchi and Takayuki Kihara
  • Journal Title: Annals of Pure and Applied Logic Volume: 165 Issue: 5 Pages: 1058-1114
  • DOI: 10.1016/j.apal.2014.01.003
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] On the strength of mar- riage theorems and uniformity (2014)
  • Author(s): Makoto Fujiwara, Kojiro Higuchi and Takayuki Kihara
  • Journal Title: Mathematical Logic Quarterly Volume: 60(3) Issue: 3 Pages: 136-153
  • DOI: 10.1002/malq.201300021
  • Peer Reviewed / Acknowledgement Compliant
• [Journal Article] Propagation of partial randomness (2014)
  • Author(s): Kojiro Higuchi, W. M. Phillip Hud elson, Stephen G. Simpson, Keita Yokoyama
  • Journal Title: Annals of Pure and Applied Logic Volume: 165(2) Pages: 742-758
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Inside the Muchnik degree I : Discontinuity, learnability and constructivism (2014)
  • Author(s): Kojiro Higuchi, Takayuki Kihara
  • Journal Title: Annals of Pure and Applied Logic Volume: 165(5) Pages: 1058-1114
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Inside the Muchnik degree I : The degree structures induced by the arithmetical hierarchy of countably continuous functions (2014)
  • Author(s): Kojiro Higuchi, Takayuki Kihara
  • Journal Title: Annals of Pure and Applied Logic Volume: 165(6) Pages: 1201-1241
  • Peer Reviewed
• [Presentation] Computably represented structures (2016)
  • Author(s): 樋口幸治郎
  • Organizer: 第50回MLG数理論理学研究集会
  • Place of Presentation: 京の民宿大原の里(京都府京都市)
  • Year and Date: 2016-01-09
• [Presentation] 非古典論理と単項二階述語論理 (2015)
  • Author(s): 樋口幸治郎
  • Organizer: 数学基礎論若手の会
  • Place of Presentation: 筑波大学館山研修所(千葉県館山市)
  • Year and Date: 2015-11-29
• [Presentation] 拡張と完全化について (2015)
  • Author(s): 樋口幸治郎
  • Organizer: ラムダ計算と論理の晩夏セミナー
  • Place of Presentation: 草津セミナーハウス(群馬県草津町)
  • Year and Date: 2015-09-23
• [Presentation] クラス理論の体系について (2015)
  • Author(s): 樋口幸治郎
  • Organizer: 日本数学会2015年度年会
  • Place of Presentation: 明治大学
  • Year and Date: 2015-03-22
• [Presentation] 集合世界の創生 (2015)
  • Author(s): 樋口幸治郎
  • Organizer: 第二回山陰基礎論・解析学研究集会
  • Place of Presentation: 国際ファミリープラザ, 米子
  • Year and Date: 2015-01-25
• [Presentation] Measure-predictable scan rules (2014)
  • Author(s): 樋口幸治郎
  • Organizer: Analysis, Randomness and Applications (ARA2014)
  • Place of Presentation: 静岡
  • Year and Date: 2014-09-04
• [Presentation] The order dimensions of degree structures (2014)
  • Author(s): 樋口幸治郎
  • Organizer: Logic Colloquium 2014
  • Place of Presentation: ウィーン, オーストリア
  • Year and Date: 2014-07-15
• [Presentation] Structures vs Prestructures (2014)
  • Author(s): 樋口幸治郎
  • Organizer: SLACS 2014/2014年度超準解析シンポジウム
  • Place of Presentation: 東京工業大学
  • Year and Date: 2014-05-27
• [Presentation] The order dimensions of degree structures (2014)
  • Author(s): 樋口幸治郎
  • Organizer: Computability Theory and Foundations of Mathematics
  • Place of Presentation: 東京工業大学(東京都目黒区)
  • Year and Date: 2014-02-19
• [Presentation] Turing次数構造の順序次元 (2014)
  • Author(s): 樋口幸治郎
  • Organizer: 山陰 基礎論・解析学セミナー2014
  • Place of Presentation: 米子工業高等専門学校(鳥取県米子市)
  • Year and Date: 2014-02-01
• [Presentation] 理論の翻訳可能性について (2013)
  • Author(s): 樋口幸治郎
  • Organizer: 数学基礎論若手の会2013
  • Place of Presentation: 九州産業大学(福岡県福岡市東区)
  • Year and Date: 2013-11-16
• [Presentation] Between Martin-Loef randomness and computable randomness (2013)
  • Author(s): 樋口幸治郎
  • Organizer: The 13th Asian Logic Conference
  • Place of Presentation: 中山大学(中国、広州)
  • Year and Date: 2013-09-18
• [Presentation] Minimal Essential Undecidability of Theories of Concatenations (2013)
  • Author(s): 樋口幸治郎
  • Organizer: Computability in Europe 2013
  • Place of Presentation: Milano-Bicocca大学(イタリア、ミラノ)
  • Year and Date: 2013-07-05
• [Remarks] 拡張と完全化について
  • URL: http://komoriyuichi.web.fc2.com/symposium/KusatsuSeminar/2015/Higuchi.pdf