超離散パンルヴェ系の研究

Research Project

Project/Area Number	14654034
Research Category	Grant-in-Aid for Exploratory Research
Allocation Type	Single-year Grants
Research Field	Global analysis
Research Institution	The University of Tokyo
Principal Investigator	時弘哲治東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (10163966)
Co-Investigator(Kenkyū-buntansha)	坂井秀隆東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (50323465)
Project Period (FY)	2002 – 2003
Project Status	Completed (Fiscal Year 2003)
Budget Amount *help	¥2,200,000 (Direct Cost: ¥2,200,000) Fiscal Year 2003: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000) Fiscal Year 2002: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000)
Keywords	パンルヴェ方程式 / 超離散系 / 有限体 / 箱玉系 / ガルニエ系
Research Abstract	(1)パンルヴエ方程式の超離散化を行うために,KP階層からの簡約によって得られた系の超離散化の手続きの一般化について考察した.周期的な境界条件を課すことによって,有限自由度の離散力学系(箱玉系)を得,その保存量を定めるアルゴリズムを求めた.一般にパンルヴェ方程式は非自律KP方程式からの簡約で得られると考えられるため,非自律KP方程式のLax行列と保存量の関係を調べた.その結果,保存量を与える一般的な表式を得た。また,系のサイズが大きくなった場合の漸近挙動を調べ,数論的な側面を明らかにした. (2)パンルヴェ方程式の新しい対称性(folding transformation)を決定した.これらの対称性は双有理的な変換で与えられるものではないが,次数2,3,4の代数的な変換であることがわかった.これらは,おのおののパンルヴェ方程式の初期値空間の商空間に付随しており,双有理変換の不定性を検いてすべてを決定することができた.また,特殊解の関係についても議論した. (3)ガルニエ系のq-analogを構成した.このq-analogは,線形微分方程式系のモノドロミー保存変形によってパンルヴェ方程式やガルニエ系が現れることと密接に関係しており,線形のq差分方程式系の結合行列を保存する条件によって得られる.連続極限で通常のガルニエ系に変換することも明らかにした.