有限サイズ量子XYZ鎖における無限次元対称性の出現と準位交差そして温度相関関数

• Project/Area Number: 14702012
• Research Category: Grant-in-Aid for Young Scientists (A)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: 物性一般(含基礎論)
• Research Institution: Ochanomizu University
• Principal Investigator: 出口 哲生 お茶の水女子大学, 理学部, 教授 (70227544)
• Project Period (FY): 2002 – 2004
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2004)
• Budget Amount: ¥12,480,000 (Direct Cost: ¥9,600,000、Indirect Cost: ¥2,880,000); Fiscal Year 2004: ¥3,770,000 (Direct Cost: ¥2,900,000、Indirect Cost: ¥870,000); Fiscal Year 2003: ¥3,640,000 (Direct Cost: ¥2,800,000、Indirect Cost: ¥840,000); Fiscal Year 2002: ¥5,070,000 (Direct Cost: ¥3,900,000、Indirect Cost: ¥1,170,000)
• Keywords: 量子XYZ鎖 / 量子XXZ鎖 / ドリンフェルト多項式 / ループ代数 / 準位縮退 / 縮退度 / ハバード模型 / 組み合わせ論的完全性 / 可解格子模型 / レベル交差 / 準位統計 / AB磁場 / ベーテ仮説 / 対称性 / XYZ鎖 / 量子スピン系 / 準位交差

Research Abstract

量子XXZ鎖の異方性変数ΔをΔ=(q+1/q)/2表す。変数qが1の冪根(2N乗根)のとき、XXZ鎖のハミルトニアンはsl(2)ループ代数の対称性を持つ。ここでXXZ鎖は周期的境界条件を満たす有限サイズの系である。ループ代数は無限個の生成演算子をもつ無限次元代数であり、XXZハミルトニアンを行列で表すと、これはループ代数の有限次元表現に対応する。
量子XXZ鎖の固有スペクトルにおいて、sl(2)ループ代数の対称性に対応する多数の準位縮退が出現する。これらの縮退固有空間はループ代数の既約表現の直和に分解される。一般に、sl(2)ループ代数の有限次元既約表現はドリンフェルト多項式と一対一に対応する。我々は、量子XXZ鎖のベーテ固有状態は全てsl(2)ループ代数の最高ウェイト状態であり、ベーテ固有状態と縮退固有空間が一対一で対応することを証明した。そして与えられたベーテ固有状態から導かれる縮退固有空間に対応するループ代数の既約表現のドリンフェルト多項式を、対応するベーテ仮説方程式の根を用いて表すことに成功した。この結果、与えられた準位縮退に対応するドリンフェルト多項式を求め、その縮退度を厳密に求めることができる。
量子XXZ鎖の準位縮退を表すドリンフェルト多項式を楕円関数にまで拡張すると、量子XYZ鎖の縮退固有空間を特徴付ける完全Nストリングを決定する関数公式が導かれる。これは平成14年度の研究で既に導かれていたが、量子XYZ鎖がループ代数の縮退を持つことを示唆する。
昨年度のAB磁場下でのXXZ鎖の研究に関連して、AB磁場下での1次元ハバード模型におけるベーテ仮説固有状態の完全性を指標公式の観点から組み合わせ論的に示した。AB磁場下ではババード模型のSO(4)対称性が失われ、このためベーテ仮説固有状態の数は増加する。しかし、予想される全ての状態の数を組み合わせ論的に足し合わせると、完全性を満たすことが分かった。この結果は、AB磁場下でのハバード模型の有限温度の物理量の計算に応用可能である。

Research Products

• [Journal Article] The sl2 loop algebra symmetry of the twisted transfer matrix of the six-vertex model at roots of unity (2004)
  • Author(s): T.Deguchi
  • Journal Title: J.Phys.A : Math.Gen. 37 Pages: 347-358
• [Journal Article] Level statistics of XXZ spin chains with a random magnetic field (2004)
  • Author(s): K.Kudo, T.Deguchi
  • Journal Title: Phys.Rev.B 69 Pages: 132404-132404
• [Journal Article] Completeness of Bethe ansatz for 1D Hubbard model with AB-flux through combinatorial formulas and exact enumeration of eigenstates (2004)
  • Author(s): A.Nishino, T.Deguchi
  • Journal Title: Nucl.Phys.B 688 Pages: 266-290
• [Journal Article] 統計力学の可解模型と数理物理学の最近の発展--DNAなど高分子の結び目、量子XXZ鎖の異常な準位縮退とループ代数-- (2004)
  • Author(s): 出口哲生
  • Journal Title: 物性研究 Vol.82・2
• [Journal Article] 「統計力学と演算子」6頂点模型の転送行列に出現するsl2ループ代数の無限次元対称性 (2004)
  • Author(s): 出口哲生
  • Journal Title: 数理科学 No.490 Pages: 26-32
• [Journal Article] 量子XXZスピン鎖の準位間隔分布における予想外の振る舞い (2004)
  • Author(s): 出口哲生, 工藤和恵
  • Journal Title: 物性研究 Vol.82・5 Pages: 739-740
• [Publications] T.Deguchi: "The sl2 loop algebra symmetry of the twisted transfer matrix of the six-vertex model at roots of unity"J.Phys.A : Math.Gen.. 37. 347-358 (2004)
• [Publications] K.Kudo, T.Deguchi: "Branches in the spectral flow of the inhomogeneous transfer matrix for the XXZ spin chian"J.Phys.Soc.Jpn.. 72. 1599-1602 (2003)
• [Publications] A.Nishino, T.Deguchi: "Bethe-ansatz studies of energy-level crossings in the one-dimensional Hubbard model"Phys.Rev.B. 68. 075114 (2003)
• [Publications] K.Kudo, T.Deguchi: "Unexpected non-Wigner behavior in level spacing distributions of next-nearest-neighbor coupled XXZ spin chains"Phys.Rev.B. 68. 052510 (2003)
• [Publications] K.Kudo, T.Deguchi: "The level statistics of XXZ spin chain with random magnetic fields"Phys.Rev.B. 69(to appear). (2004)
• [Publications] 出口哲生: "「統計力学と演算子」6頂点模型の転送行列に出現する$sl_2$ ループ代数の無限次元対称性"数理科学. No.490. 26-32 (2004)
• [Publications] T.Deguchi: "Construction of some missing eigenvectors of the XYZ spin chain at the discrete coupling constants"J. Phys. A : Math. Gen.. 35. 879-895 (2002)
• [Publications] T.Deguchi: "The 8V CSOS model and the sl_2 loop algebra symmetry of the six-vertex model at roots of unity"Int. J. Mod. Phys. B. 16. 1899-1905 (2002)
• [Publications] 出口哲生, 工藤和恵: "可積分量子スピン系における異常な準位交差"物性研究. (発表予定). (2003)
• [Publications] T.Deguchi: "Introduction to solvable lattice models in statistical and mathematical physics""Classical and Quantum Integrable Systems" (ISBN 07503 09598) 10P Pub. (To appear). (2003)