非線形放物型偏微分方程式の解の特異性の解明

Research Project

Project/Area Number	14740085
Research Category	Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
Allocation Type	Single-year Grants
Research Field	General mathematics (including Probability theory/Statistical mathematics)
Research Institution	Tokyo University of Science
Principal Investigator	牛島健夫東京理科大学, 理工学部, 講師 (30339113)
Project Period (FY)	2002 – 2003
Project Status	Completed (Fiscal Year 2003)
Budget Amount *help	¥2,200,000 (Direct Cost: ¥2,200,000) Fiscal Year 2003: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000) Fiscal Year 2002: ¥1,200,000 (Direct Cost: ¥1,200,000)
Keywords	非線形放物型方程式 / 解の爆発 / 曲率流方程式 / 面積保存の曲率流 / クリスタライン・アルゴリズム
Research Abstract	研究代表者は、前年度に引き続き、以下の放物型方程式の爆発解の研究並びに、これを遂行するための数値手法の開発を行った: u^t=u^2u_<xx>+u^3-μ/(∫_Ω1/udx), x∈Ω, ここで,uは実数値関数で、周期境界条件の下で考えている。これは平面凸閉曲線の曲率運動を記述する方程式である。μ=0の時は古典的な曲率流となり、μが2πの整数倍となる時は平面凸閉曲線の曲線が囲む面積を保存する曲率流となる。μ=0の場合には、解の爆発を含め、様々な結果が得られているが、μ≠0の場合には多くの結果は得られていなかった。矢崎成俊氏(宮崎大学)との共同研究により、クリスタライン・アルゴリズムと呼ばれる手法を用いた近似アルゴリズムを開発した。この近似アルゴリズムの収束性とある意味での安定性を示すと共に、このアルゴリズムに基づいた数値スキームを用いて数値実験を行い、爆発解などの様相を観察した。これらの成果については、7月にシドニーで行われたICIAM2003にて報告するとともに、2本の論文(発表論文の項参照)にまとめた。また、石渡哲哉氏(岐阜大学)との共同研究で、上の問題とは異なる、非局所項をもつ放物型偏微分方程式の爆発解の研究を行い、いくつかの成果を得た。