拡散方程式と非線形境界条件

• Project/Area Number: 14J04154
• Research Category: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 国内
• Research Field: Mathematical analysis
• Research Institution: Tohoku University
• Principal Investigator: 佐藤 龍一 東北大学, 理学研究科, 特別研究員(DC1)
• Project Period (FY): 2014-04-25 – 2017-03-31
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2016)
• Budget Amount: ¥2,800,000 (Direct Cost: ¥2,800,000); Fiscal Year 2016: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000); Fiscal Year 2015: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000); Fiscal Year 2014: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000)
• Keywords: 拡散方程式 / 非線形境界条件 / 放物型方程式 / 初期値問題 / 解の爆発

Outline of Annual Research Achievements

本年度は研究計画に則り，非線形境界条件付き熱方程式に関する研究を行った．昨年度までに得られた，以下の結果について論文にまとめ，国際的な論文雑誌への掲載が決定した．
初期値の局所的な特異性と解の存在との関係，初期値の空間遠方での増大度と解の存在との関係を発展させて，解の最大存在時間の挙動は初期値の境界近傍での振る舞いによって評価されることを示した．これは非線形性が境界条件にあるという，本研究で扱う問題がもつ特色を反映した結果であると言える．これらの結果から，解の爆発に関して，初期値や解の境界近傍での情報から決定できないか，という新たな問題意識が芽生えた．
本年度は，これまで主に取り扱ってきた，線形の熱方程式から，多孔質媒質方程式に拡張した研究にも取り組み始めた．多孔質媒質方程式に代表されるような非線形拡散方程式に対しては線形熱方程式に対して非常に強力な解析手法が適用できない場合が多くあり，その解析が困難となることが多々ある．しかしながら本研究で扱っていた手法は弱階の枠組みであるため，多孔質媒質方程式を含んだ，広範な発散型の問題に対しても有効な手法であると考えていた．実際，多孔質媒質方程式に非線形境界条件を課した問題や，ベキ乗型非線形項を加えた問題に対しても解の存在が証明できる．今後はこれらの新しい問題を解決し，その応用として解の爆発問題に取り組み，論文としてまとめ，研究成果を発表していく予定である．

Research Progress Status

28年度が最終年度であるため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

28年度が最終年度であるため、記入しない。

Research Products

• [Journal Article] Heat equation with a nonlinear boundary condition and growing initial data (2017)
  • Author(s): Kazuhiro Ishige and Ryuichi Sato
  • Journal Title: Differential and Integral Equations Volume: 印刷中
  • Peer Reviewed / Acknowledgement Compliant
• [Journal Article] HEAT EQUATION WITH A NONLINEAR BOUNDARY CONDITION AND UNIFORMLY LOCAL L^r SPACES (2016)
  • Author(s): K. Ishige and R. Sato
  • Journal Title: DISCRETE AND CONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS Volume: 36
  • Peer Reviewed / Acknowledgement Compliant
• [Presentation] Heat equation with a nonlinear boundary condition and growing initial data (2017)
  • Author(s): 佐藤龍一
  • Organizer: The 18th Northeastern Symposium on Mathematical Analysis
  • Place of Presentation: 東北大学
  • Year and Date: 2017-02-20
  • Int'l Joint Research
• [Presentation] Heat equation with a nonlinear boundary condition and growing initial data (2017)
  • Author(s): 佐藤龍一
  • Organizer: 若手のための偏微分方程式と数学解析
  • Place of Presentation: 福岡，福岡大学セミナーハウス
  • Year and Date: 2017-02-16
• [Presentation] Heat equation with a nonlinear boundary condition and growing initial data (2016)
  • Author(s): 佐藤龍一
  • Organizer: 第14回 浜松偏微分方程式研究集会
  • Place of Presentation: 静岡大学
  • Year and Date: 2016-12-22
• [Presentation] Heat equation with a nonlinear boundary condition and growing initial data (2016)
  • Author(s): 佐藤龍一
  • Organizer: Geometry of solutions of PDE's and its related inverse problems
  • Place of Presentation: 東北大学
  • Year and Date: 2016-10-05
  • Int'l Joint Research
• [Presentation] Heat equation with a nonlinear boundary condition and growing initial data (2016)
  • Author(s): 佐藤龍一
  • Organizer: 日本数学会2016年度 秋季総合分科会函数方程式論分科会
  • Place of Presentation: 大阪，関西大学
  • Year and Date: 2016-09-15
• [Presentation] Heat equation with a nonlinear boundary condition and uniformly local$ L^r$ spaces (2015)
  • Author(s): 佐藤龍一
  • Organizer: 日本数学会 2015 年度 春季総合分科会函数方程式論分科会
  • Place of Presentation: 明治大学，東京都千代田区
  • Year and Date: 2015-03-20 – 2015-03-24
• [Presentation] Heat equation with a nonlinear boundary condition and growing initial data (2015)
  • Author(s): Ryuichi Sato
  • Organizer: 第 16 回北東数学解析研究会
  • Place of Presentation: 東北大学,仙台市
  • Year and Date: 2015-02-16 – 2015-02-17
• [Presentation] Heat equation with a nonlinear boundary condition and uniformly local $L^r$ spaces (2015)
  • Author(s): Ryuichi Sato
  • Organizer: 2015 East Asian Core Doctorial Forum on Mathematics
  • Place of Presentation: 国立台湾大学，台湾
  • Year and Date: 2015-01-19 – 2015-01-22
• [Presentation] Heat equation with a nonlinear boundary condition and unbounded initial functions (2014)
  • Author(s): 佐藤龍一
  • Organizer: RIMS 研究集会 偏微分方程式の解の形状 と諸性質
  • Place of Presentation: 京都大学数理解析研究所,京都市
  • Year and Date: 2014-11-05 – 2014-11-07