漸近的複素双曲アインシュタイン計量の変形の研究とその一般化

• Project/Area Number: 14J11754
• Research Category: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 国内
• Research Field: Geometry
• Research Institution: Tokyo Institute of Technology
• Principal Investigator: 松本 佳彦 東京工業大学, 理工学研究科, 特別研究員(PD)
• Project Period (FY): 2014-04-25 – 2017-03-31
• Project Status: Declined (Fiscal Year 2016)
• Budget Amount: ¥4,420,000 (Direct Cost: ¥3,400,000、Indirect Cost: ¥1,020,000); Fiscal Year 2016: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000); Fiscal Year 2015: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000); Fiscal Year 2014: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000)
• Keywords: 微分幾何学 / 漸近的複素双曲計量 / アインシュタイン方程式 / CR構造 / L2コホモロジー / 幾何学 / 幾何解析 / アインシュタイン計量 / 国際研究者交流 / フランス

Outline of Annual Research Achievements

本研究の目的は、漸近的複素双曲アインシュタイン（ACHE）計量の変形理論を構築すること、またそれを通じて、一般の「放物幾何」が境界に誘導される場合の漸近的対称アインシュタイン空間の描像を明らかにすることである。
本年度は主に、ACHE計量の代表的な例である有界強擬凸領域上の完備ケーラー・アインシュタイン計量（Cheng-Yau計量）が、「自在に」ACHE計量に変形できることを証明するという問題に取り組んだ。ここで「自在に」というのは、計量が無限遠境界に誘導する（一般化された）CR構造を自由に微小摂動できることを指す。そのような状況を明らかにすることで、ACHE計量のなす空間（ACHE計量のモジュライ空間）におけるCheng-Yau計量の分布の仕方を、ある程度解明しようとしたのである。
2014年11月下旬から2015年6月末まで高等師範学校（フランス）に滞在しながら、現地の研究者と意見交換をしつつこの問題に取り組み、ある種の場合においては（すなわち、複素次元が3以上であれば）上に述べた「自在な変形」が可能であることを証明した。その証明においては、正則接バンドルに値を持つL2ドルボー・コホモロジーの考察が重要なステップとなった。帰国後の研究によってさらに、そこで用いた方法が1983年にH. Donnelly氏とC. Fefferman氏によって証明された定理について新たな理解をもたらすことも明らかになった。以上の内容を論文にまとめ、プレプリントサーバarXivにてその原稿を公開した。
また、Cheng-Yau計量の幾何学的応用として、CR多様体の全Q-prime曲率について平地健吾氏、丸亀泰二氏とともに考察し、論文をまとめて論文誌への投稿を行った。この原稿もarXivで公開している。

Research Progress Status

翌年度、交付申請を辞退するため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

翌年度、交付申請を辞退するため、記入しない。

Research Products

• [Int'l Joint Research] 高等師範学校(フランス)
• [Int'l Joint Research] スタンフォード大学(米国)
• [Journal Article] Proper harmonic maps between asymptotically hyperbolic manifolds (2016)
  • Author(s): Kazuo Akutagawa, Yoshihiko Matsumoto
  • Journal Title: Mathematische Annallen Volume: 364 Issue: 3-4 Pages: 793-811
  • DOI: 10.1007/s00208-015-1229-5
  • Peer Reviewed / Acknowledgement Compliant
• [Presentation] 有界強擬凸領域における完備アインシュタイン計量の変形 (2016)
  • Author(s): 松本 佳彦
  • Organizer: 日本数学会2016年度年会
  • Place of Presentation: 筑波大学
  • Year and Date: 2016-03-16
  • Invited
• [Presentation] 漸近的複素双曲計量の幾何解析とDonnelly-Feffermanの定理 (2016)
  • Author(s): 松本 佳彦
  • Organizer: 複素解析幾何学のポテンシャル論的諸相
  • Place of Presentation: 東京大学
  • Year and Date: 2016-02-14
  • Invited
• [Presentation] 有界強擬凸領域におけるCheng-Yau計量のEinstein変形とL2コホモロジー (2015)
  • Author(s): 松本 佳彦
  • Organizer: 複素解析的ベクトル場・葉層構造とその周辺
  • Place of Presentation: 京都教育大学
  • Year and Date: 2015-12-13
  • Invited
• [Presentation] 有界強擬凸領域におけるCheng-Yau計量のEinstein変形とL2コホモロジー (2015)
  • Author(s): 松本 佳彦
  • Organizer: 東北複素解析セミナー
  • Place of Presentation: 東北大学
  • Year and Date: 2015-11-25
  • Invited
• [Presentation] 有界強擬凸領域におけるCheng-Yau計量のEinstein変形とL2コホモロジー (2015)
  • Author(s): 松本 佳彦
  • Organizer: 複素解析セミナー
  • Place of Presentation: 東京工業大学
  • Year and Date: 2015-11-18
  • Invited
• [Presentation] 漸近的双曲多様体の間の調和写像 (2015)
  • Author(s): 松本 佳彦, 芥川 和雄
  • Organizer: 日本数学会2015年度秋季総合分科会
  • Place of Presentation: 京都産業大学
  • Year and Date: 2015-09-16
• [Presentation] 漸近的双曲多様体のあいだの調和写像 (2015)
  • Author(s): 松本 佳彦
  • Organizer: 第62回幾何学シンポジウム
  • Place of Presentation: 東京理科大学
  • Year and Date: 2015-08-30
  • Invited
• [Presentation] L2 cohomology and deformation of Einstein metrics on strictly pseudoconvex domains (2015)
  • Author(s): 松本 佳彦
  • Organizer: Young Mathematicians Workshop on Several Complex Variables 2015
  • Place of Presentation: 同済大学（中国）
  • Year and Date: 2015-08-14
  • Int'l Joint Research
• [Presentation] Harmonic maps between asymptotically hyperbolic manifolds (2015)
  • Author(s): 松本 佳彦
  • Organizer: Conference on Analysis and Geometry
  • Place of Presentation: 中国科学技術大学（中国）
  • Year and Date: 2015-08-05
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] L2 cohomology and deformation of Einstein metrics on strictly pseudoconvex domains (2015)
  • Author(s): 松本 佳彦
  • Organizer: 複素解析幾何セミナー
  • Place of Presentation: 東京大学
  • Year and Date: 2015-07-13
  • Invited
• [Presentation] Proper harmonic maps between asymptotically hyperbolic manifolds (2015)
  • Author(s): 松本佳彦
  • Organizer: Princeton-Tokyo Workshop on Geometric Analysis
  • Place of Presentation: 東京大学（東京都目黒区）
  • Year and Date: 2015-03-17
• [Presentation] Proper harmonic maps between asymptotically hyperbolic manifolds (2015)
  • Author(s): 松本佳彦
  • Organizer: Geometry & Topology Seminar
  • Place of Presentation: インペリアル・カレッジ・ロンドン（ロンドン、イギリス）
  • Year and Date: 2015-02-06
• [Presentation] Proper harmonic maps between asymptotically hyperbolic manifolds (2015)
  • Author(s): 松本佳彦
  • Organizer: Seminaire d'Analyse et Geometrie
  • Place of Presentation: ピエール・エ・マリー・キュリー大学（パリ、フランス）
  • Year and Date: 2015-01-13
• [Presentation] 有界強擬凸領域上の完備Kahler-Einstein計量とその無限小ACHE変形について (2014)
  • Author(s): 松本佳彦
  • Organizer: 第57回函数論シンポジウム
  • Place of Presentation: 東北大学（宮城県仙台市）
  • Year and Date: 2014-11-09
• [Remarks] 松本佳彦
  • URL: http://math.ymatz.net/