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パンルヴェ第VI走方程式の非線型モノドロミーと複素離散力学系

Research Project

Project/Area Number 15654026
Research Category

Grant-in-Aid for Exploratory Research

Allocation TypeSingle-year Grants
Research Field Global analysis
Research InstitutionKyushu University

Principal Investigator

岩崎 克則  九州大学, 大学院数理学研究院, 教授 (00176538)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 石井 豊  九州大学, 大学院数理学研究院, 助教授 (20304727)
Project Period (FY) 2003 – 2005
Project Status Completed (Fiscal Year 2005)
Budget Amount *help
¥1,500,000 (Direct Cost: ¥1,500,000)
Fiscal Year 2005: ¥500,000 (Direct Cost: ¥500,000)
Fiscal Year 2004: ¥500,000 (Direct Cost: ¥500,000)
Fiscal Year 2003: ¥500,000 (Direct Cost: ¥500,000)
Keywordsパンルヴェ第IV方程式 / ポアンカレ回帰写像 / 複素三次曲面 / 双有理写像 / 位相的エントロピー / 双曲型不変測度 / カオス力学系 / 周期点 / パンルヴェ第VI方程式 / 非線形モノドロミー / リーマン・ヒルベルト対応 / モジュラー群 / 複素離散力学系 / 安定放物型接続 / 保測力学系
Research Abstract

パンルヴェ第IV方程式の非線形モノドロミー,即ちポアンカレ回帰写像のなす複素力学系についての研究を行った。岩崎克則は,前年度までの成果である,パンリヴェ力学系の相空間,初期値空間のモジュライ理論的構成,リーマン・ヒルベルト対応による複素三次曲面上の離散力学系への共役写像の構成等の基盤整備に基づき,今年度は下記の研究を行った。
(1)ポアンカレ写像の周期点の個数の計算:パンルヴェ方程式のモジュライ理論的構成,リーマン・ヒルベルト対応の双正則性,複素三次曲面の幾何学,初期値空間上のポアンカレ写像に対応する三次曲面上の双有理写像の力学系の考察,特にその力学系のコホモロジー群への誘導線形写像の考察,力学次数の計算,レフシェッツの不動点公式の適用等の議論を経ることにより,ポッホハマー・ループに沿うポアンカレ写像の周期点の個数を計算した。この公式は,周期を与えたとき,その周期を持つ周期点の個数を明示的に表す具体的な公式であり,特にその個数が周期と共に指数関数的に増大することを示している。
(2)ポアンカレ写像のエルゴード理論的研究:パンルヴェ方程式の定義領域であるリーマン球面から3点を除いた領域上の,すべての非初等的な閉曲線に対して,その曲線に沿うポアンカレ写像がカオス的であることを示した。すなわち,位相的エントロピーが正であること,混合的であり鞍点型の双曲型不変測度が存在すること,その不変測度が最大エントロピー測度であること,その測度の台における双曲型不動点の稠密性等の発見である。その証明には,最近急速に発展している複素曲面上の双有理写像の力学系の成果が極めて有効に応用された。
これらの成果は,従来可積分系の立場から研究されることが殆どであったパンルヴェ方程式の分野に,カオス的な現象が実際に起こることを発見したものであり,その点で全く新しい成果であるといえる。
これらの研究を実行するに際して,研究代表者の岩崎克則は,分担者の石井豊と定期的に複素曲面上の力学系のエルゴード理論に関するセミナーを実施した。また,これまでの成果をまとめた概説論文を執筆した。また,石井豊は,双曲的な複素エノン写像の研究を行った。特に、拡大的1変数多項式の摂動としては決して得られないような双曲的エノン写像の構成に成功した。

Report

(3 results)
  • 2005 Annual Research Report
  • 2004 Annual Research Report
  • 2003 Annual Research Report
  • Research Products

    (9 results)

All 2006 2005 2004 Other

All Journal Article (5 results) Publications (4 results)

  • [Journal Article] Dynamics of the sixth Painleve equation2006

    • Author(s)
      M.Inaba, K.Iwasaki, M.-H.Saito
    • Journal Title

      Theorie asymptotique et equations de Painleve (Angers, juin 2004) Seminaires et Congres, Soc.Math.France (in press)

    • Related Report
      2005 Annual Research Report
  • [Journal Article] Sensitivity of minimaxity and admissibility in the estimation of a positive normal mean2005

    • Author(s)
      Y.Maruyama, K.Iwasaki
    • Journal Title

      Annals of the Institute of Statistical Mathematics 57(1)

      Pages: 145-156

    • NAID

      40006712682

    • Related Report
      2005 Annual Research Report
  • [Journal Article] Sensitivity of of minimaxity and admissibility in the estimation of a positive normal mean2005

    • Author(s)
      Y.Maruyama, K.Iwasaki
    • Journal Title

      Journal of the Institute of Statistical Mathematics 57(in press)

    • NAID

      40006712682

    • Related Report
      2004 Annual Research Report
  • [Journal Article] Backlund transformations of the sixth Painleve equation in terms of Riemann-Hilbert correspondence2004

    • Author(s)
      M.Inaba, K.Iwasaki, M-H Saito
    • Journal Title

      International Mathematics Research Notices 2004:1

      Pages: 1-30

    • Related Report
      2004 Annual Research Report
  • [Journal Article] Moduli of stable parabolic connections, Riemann-Hilbert correspondence and geometry of Painleve equations of type VI, Part I

    • Author(s)
      M.Inaba, K.Iwasaki, M.-H.Saito
    • Journal Title

      Publications of Research Institute for Mathematical Sciences (to appear)

    • Related Report
      2005 Annual Research Report
  • [Publications] Katsunori Iwasaki: "An area-preserving action of the modular group on cubic surfaces and the Painleve VI equation"Communications in Mathematical Physics. 242(1-2). 185-219 (2003)

    • Related Report
      2003 Annual Research Report
  • [Publications] M.Inaba, K.Iwasaki, M.-H.Saito: "Backlund transformations of the sixth Painleve equation in terms of Riemann-Hilbert correspondence"International Mathematics Research Notices. 2004(1). 1-30 (2004)

    • Related Report
      2003 Annual Research Report
  • [Publications] Katsunori Iwasaki: "Isolated singularity, Witten's Laplacian and duality for twisted de Rham cohomology"Communications in Partial Differential Equations. 28(1-2). 61-82 (2003)

    • Related Report
      2003 Annual Research Report
  • [Publications] Katsunori Iwasaki: "Cohomology groups for recurrence relations and contiguity relations of hypergeometric systems"Journal of the Mathematical Society of Japan. 55(2). 289-321 (2003)

    • Related Report
      2003 Annual Research Report

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Published: 2003-04-01   Modified: 2016-04-21  

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