非可換幾何学における局所指数定理と水*-指数関数

• Project/Area Number: 15740045
• Research Category: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Geometry
• Research Institution: Keio University
• Principal Investigator: 宮崎 直哉 慶應義塾大学, 経済学部, 助教授 (50315826)
• Project Period (FY): 2003 – 2005
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2005)
• Budget Amount: ¥3,700,000 (Direct Cost: ¥3,700,000); Fiscal Year 2005: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000); Fiscal Year 2004: ¥1,200,000 (Direct Cost: ¥1,200,000); Fiscal Year 2003: ¥1,400,000 (Direct Cost: ¥1,400,000)
• Keywords: deformation quantization / Poisson geometry / regular Lie group / formality theorem / index theorem / symplectic geometry / integrable system / cyclic theory / K-theory / deformation quantizations / star product / Symplectic geometry / Symplectic group / non commutative differential geometry

Research Abstract

本研究では非可換幾何学における変形量子化の果たす役割を考察し、またその応用について幾つか基本的な結果を得た。まず、通常考えられている多様体の非可換化を考える時もっとも物理的に見て自然な方法のひとつとして変形量子化が考えられるが、非可換化された後の空間の基本的な性質(コホモロジー理論、指数定理)などの研究はあまり進んでいなかった。そこで本研究ではそれらの計算、具体的な定理を得ることを目標として以下のような結果を得た。
1)変形量子化の結果得られる非可換空間のコホモロジーである0次K-理論はもともとの可換な場合と変わらないが巡回理論の方は変形量子化の影響をうけること。
2)非可換多様体の指数定理にはその変形をパラメトライズするコホモロジーの要素を反映させた形の公式がえられること。
さらに、変形量子化された世界には*-指数関数を経由することによって自然にgerbeと呼ばれる概念が現われることなどもわかりつつある。もともとのgerbeは整数係数の3次コホモロジーの幾何学的実現であるが、それが非可換幾何と密接に関連しているということは非常に興味深いことであると思われることに加え、比較的最近Melroseらもtorsion classに対応しているgerbeに関する指数定理などを考察しているが、これらの研究と変形量子化における*-指数関数の計算はその背後で密接にかかわっていることが推察される。
以上のような結果を踏まえ今後はさらに非可喚幾何学とコホモロジーの要素との関連、指数定理などを研究していきたい。

Research Products

• [Journal Article] On vectoriai grebes and Poincare-Cartan classes (2005)
  • Author(s): Naoya Miyazaki
  • Journal Title: Non commutative geometry and Physics, World Scientific Pages: 209-300
• [Journal Article] Contact Weyl Manifoldにおける指数定理とrepresentable K-thoery (2005)
  • Author(s): Naoya Miyazaki
  • Journal Title: 京都大学数理解析研究所講究録 1408 Pages: 40-59
• [Journal Article] Classification of all quadratic star products on a plane (2005)
  • Author(s): Naoya Miyazaki
  • Journal Title: Lecture Notes in Physics (Springer Verlag) 662 Pages: 113-126
• [Journal Article] Star exponential functions as two-valued elements (2005)
  • Author(s): Y.Maeda, N.Miyazaki, H.Omori, A.Yoshioka
  • Journal Title: Progress in Mathematics 232 Pages: 483-492
• [Journal Article] Geometric objects in an approach to quantum geometry
  • Author(s): H.Omori, Y.Maeda, N.Miyazaki, Y.Yoshioka
  • Journal Title: Progress in Mathematics (to appear)
• [Journal Article] On vectorial grebes and Poincare-Cartan classes
  • Author(s): Naoya Miyazaki
  • Journal Title: Proceedings in Noncommutative geometry and Physics (未定)
• [Publications] 大森英樹, 前田吉昭, 宮崎直哉, 吉岡朗: "Strange Phenomena Related to Ordering Problems in Quantizations"Journal of Lie Theory. Vol.13. 481-510 (2003)
• [Publications] 宮崎直哉: "Classification of all quadratic star products on a plane"Lecture note in Physics, Springer. (未定).