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Kirillov-Reshetikhin 加群の結晶基底とその組合せ論的実現

Research Project

Project/Area Number 15K04803
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

Allocation TypeMulti-year Fund
Section一般
Research Field Algebra
Research InstitutionUniversity of Tsukuba

Principal Investigator

佐垣 大輔  筑波大学, 数理物質系, 准教授 (40344866)

Project Period (FY) 2015-04-01 – 2020-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2018)
Budget Amount *help
¥4,810,000 (Direct Cost: ¥3,700,000、Indirect Cost: ¥1,110,000)
Fiscal Year 2018: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2017: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2016: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2015: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Keywords量子アフィン代数 / 有限次元既約表現 / 結晶基底 / Kirillov-Reshetikhin 加群 / Lakshmibai-Seshadri パス / Macdonald 多項式 / van der Kallen 加群 / Lakshmiba-Seshadri パス / パス模型
Outline of Annual Research Achievements

平成27~28年度に,レベル・ゼロのエクストリーマル・ウェイト加群における Demazure 加群の次数付き指標と,対称/非対称 Macdonald 多項式の特殊化との間の関係を研究した.この研究で中心的な役割を果たしたのが,半無限 Lakshmibai-Seshadri パスのなすクリスタルである;半無限 Lakshmibai-Seshadri パスを null root を法にして考えると,量子 Lakshmibai-Seshadri パスになり,それらのなすクリスタルが当研究の研究対象である Kirillov-Reshetikhin クリスタル(の特別な場合;レベル1の場合)になることが知られている.平成29年度には,半無限 Lakshmibai-Seshadri パスに対する「半無限標準単項式理論」を構築することに成功し,エクストリーマル・ウェイト加群における Demazure 加群に対する「半無限標準単項式」を記述した.そして,Demazure 加群の次数付き指標に関する Chvalley 型の公式(優整ウェイトの場合)を導いた.
平成30年度は,上記の半無限標準単項式理論と優整ウェイトの場合の Chvalley 型の公式を応用して,Chvalley 型の公式を反優整ウェイトの場合まで拡張した (arXiv:1808.01468).また,この結果の系として,半無限旗多様体の同変K-理論における,反優整ウェイトの場合の Chevalley 型の公式が得られた.さらに,応用として,minuscule ウェイトに関する Monk 型の公式(minuscule ウェイトと Demazure 加群の最高ウェイトが同じ Weyl chamber に含まれている場合)を証明することができた.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

当初計画していた内容に関しては大きな進展はなかった.一方,半無限 Lakshmibai-Seshadri パスに関する研究はさらに大きく進展した.実際,平成29年度に得られた優整ウェイトの場合の Chvalley 型の公式と,平成30年度に得られた反優整ウェイトの場合の Chvalley 型の公式を組み合わせれば,すべての整ウェイトについての Chevalley 型の公式を計算することが(原理的には)可能になる.したがって,平成30年度の研究業績は大きな意義があるといえるだろう.
上でも述べたとおり,半無限 Lakshmibai-Seshadri パスを null root を法にして考えると,当研究の研究対象である Kirillov-Reshetikhin クリスタル(の特別な場合)になる.したがって,上のような半無限 akshmibai-Seshadri パスに関する研究は,当研究の研究目標にとっても大いに意義があるものと考える.以上を踏まえ,「おおむね順調に進展している」とする.

Strategy for Future Research Activity

(1) 当初の予定どおり「Kirillov-Reshetikhin クリスタルと同型になると予想されるクリスタル B(r,s) の組み合わせ論的構成」を行う.これに関しては,当初のクリスタルの相似性のみではなく,Travis Scrimshaw 氏らの最新の研究も参考にできると考えている.
(2) Kirillov-Reshetikhin 加群の結晶基底の存在については,Scrimshaw氏や直井克之氏の最新の(例外型に関する)結果を参考にして,研究を加速させる.そして,結晶基底の存在が確認された後,(1) のクリスタルを用いて完全性などの性質を探る.
(3) 半無限 Lakshmibai-Seshadri パスに関する研究も引き続き行う.特に,一般の整ウェイトについての Chevalley 型の公式は,上述のとおり,原理的には計算可能であるが,そこからキャンセレーションを取り除き,より明示的に記述することが重要な課題となる.また,Monk 型の公式についても研究を進めたい.

Report

(4 results)
  • 2018 Research-status Report
  • 2017 Research-status Report
  • 2016 Research-status Report
  • 2015 Research-status Report

Research Products

(13 results)

All 2019 2018 2017 2016

All Journal Article Presentation

  • [Journal Article] Representation-theoretic interpretation of Cherednik-orr's recursion formula for the specialization of nonsymmetric Macdonald polynomials at t = ∞2019

    • Author(s)
      S. Naito, F. Nomoto, and D. Sagaki
    • Journal Title

      Transform. Groups

      Volume: 24

    • DOI

      10.1007/s00031-017-9467-0

    • Related Report
      2018 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Specialization of nonsymmetric Macdonald polynomials at t = ∞ and Demazure submodules of level-zero extremal weight modules2018

    • Author(s)
      S.Naito, F.Nomoto, and D.Sagaki
    • Journal Title

      Trans. Amer. Math. Soc.

      Volume: 370 Pages: 2739-2783

    • DOI

      10.1090/tran/7114

    • Related Report
      2017 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] A uniform model for Kirillov-Reshetikhin crystals III: Nonsymmetric Macdonald polynomials at t = 0 and Demazure characters2017

    • Author(s)
      C.Lenart, S.Naito, D.Sagaki, A.Schilling, and M.Shimozono
    • Journal Title

      Transform. Groups

      Volume: 印刷中 Pages: 1041-1079

    • DOI

      10.1007/s00031-017-9421-1

    • Related Report
      2017 Research-status Report 2016 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] A uniform model for Kirillov-Reshetikhin crystals II: Alcove model, path model, and P = X2017

    • Author(s)
      C.Lenart, S.Naito, D.Sagaki, A. Schilling, and M. Shimozono
    • Journal Title

      Int. Math. Res. Not.

      Volume: 2017 Pages: 4259-4319

    • DOI

      10.1093/imrn/rnw129

    • Related Report
      2017 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Specialization of nonsymmetric Macdonald polynomials at t=∞ and Demazure submodules of level-zero extremal weight modules2017

    • Author(s)
      Satoshi Naito, Fumihiko Nomoto and Daisuke Sagaki
    • Journal Title

      Transactions of the AMS

      Volume: 印刷中

    • Related Report
      2016 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Demazure submodules of level-zero extremal weight modules and specializations of Macdonald polynomials2016

    • Author(s)
      S. Naito and D. Sagaki
    • Journal Title

      Mathematische Zeitschrift

      Volume: 284 Pages: 937-978

    • DOI

      10.1007/s00209-016-1628-7

    • Related Report
      2016 Research-status Report 2015 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Semi-infinite Lakshmibai-Seshadri path model for level-zero extremal weight modules over quantum affine algebras2016

    • Author(s)
      Motohiro Ishii, Satoshi Naito and Daisuke Sagaki
    • Journal Title

      Adv. Math.

      Volume: 290 Pages: 967-1009

    • DOI

      10.1016/j.aim.2015.11.037

    • Related Report
      2015 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Acknowledgement Compliant
  • [Journal Article] Application of a Z3-orbifold construction to the lattice vertex operator algebras associated to Niemeier lattices2016

    • Author(s)
      Daisuke Sagaki and Hiroki Shimakura
    • Journal Title

      Transactions of the American Mathematical Society

      Volume: 368 Pages: 1621-1646

    • DOI

      10.1090/tran/6382

    • Related Report
      2015 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Presentation] Chevalley type and Monk type formulas for level-zero Demazure modules2019

    • Author(s)
      Daisuke Sagaki
    • Organizer
      Crystals and Their Generalizations
    • Related Report
      2018 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Combinatorial standard monomial theory for semi-infinite Lakshmibai-Seshadri paths2018

    • Author(s)
      Daisuke Sagaki
    • Organizer
      Conference on Algebraic Representation Theory
    • Related Report
      2018 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Introduction to extremal weight modules for quantum affine algebras2017

    • Author(s)
      Daisuke Sagaki
    • Organizer
      Spring School on Representation Theory
    • Place of Presentation
      東京大学 (東京都目黒区)
    • Year and Date
      2017-03-13
    • Related Report
      2016 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Semi-infinite Lakshmibai-Seshadri path model for level-zero extremal weight modules over quantum affine algebras2017

    • Author(s)
      Daisuke Sagaki
    • Organizer
      Lectures in Seoul National University
    • Related Report
      2017 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] Specializations of nonsymmetric Macdonald polynomials and Demazure type submodules of extremal weight modules2017

    • Author(s)
      Daisuke Sagaki
    • Organizer
      Algebraic and Combinatorial Aspects in Integrable Systems
    • Related Report
      2017 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited

URL: 

Published: 2015-04-16   Modified: 2019-12-27  

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