カペリ型恒等式とリー環の普遍包絡環、重複度自由表現の研究

• Project/Area Number: 17740080
• Research Category: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Basic analysis
• Research Institution: Kagoshima University
• Principal Investigator: 伊藤 稔 Kagoshima University, 理学部, 准教授 (60381141)
• Project Period (FY): 2005 – 2007
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2007)
• Budget Amount: ¥2,400,000 (Direct Cost: ¥2,400,000); Fiscal Year 2007: ¥700,000 (Direct Cost: ¥700,000); Fiscal Year 2006: ¥700,000 (Direct Cost: ¥700,000); Fiscal Year 2005: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000)
• Keywords: テンソル代数 / カペリ恒等式 / dual pair / 不変式論の第一基本定理 / 二項型多項式列 / シューア多項式 / リー環の普遍包絡環 / 非可換行列式

Research Abstract

テンソル代数を自然に含む代数を構成した。この代数にはある種の微分作用素が自然に作用し、幾つかの興味深い性質が成り立つ。さらにこの微分作用素を付け加えることによって、Weyl代数やClifford代数の類似に拡張することもできる。このテンソル代数の拡張と微分作用素の枠組みを応用して、以下のような成果を上げた。【quantum immanantへの応用】この代数の元を形式的変数とする母函数を考えて、これを利用することで、quantum immanantやhigher Capelli identityなどを取り扱うことができる。これらに関する基本的な性質(中心性や幾つかの表示の同値性)の新証明を得た。この新証明は外積代数を用いたCapelli恒等式の取り扱いに似ており、この手法を発展させることで直交リー環やシンプレクティック リー環の普遍包絡環におけるquantum immanantの類似を考える手がかりになることが期待できる。【不変式論への応用】テンソル代数への特殊線型群のある自然な作用に関して、その不変元のなす部分代数の記述(いわゆる不変式論の第一基本定理)をすることができた。これは証明方法も含めて多項式環における古典的な結果とパラレルになっている。【表現論への応用】Schur-Weyl dualityの新証明や、その一般化を得た。またテンソル代数におけるHowe dualityの類似も得た。今後、(無限対称群を含めた)対称群の表現論、一般線型群などの古典群の表現論への貢献が期待できる。

Research Products

• [Journal Article] Two determinants in the universal enveloping algebras of the orthogonal Lie algebras (2007)
  • Author(s): Minoru Itoh
  • Journal Title: Journal of Algebra 314 Pages: 479-506
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Capelli identities for reductive dual pairs (2005)
  • Author(s): Minoru ITOH
  • Journal Title: Advances in Mathematics 194・2 Pages: 345-397
  • NAID: 130008004835
• [Journal Article] Two permanents in the universal enveloping algebras of the symplectic Lie algebras
  • Author(s): Minoru Itoh
  • Journal Title: International Journal of Mathematics (発表予定)
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Two determinants in the univesal enveloping algebra of the orthogonal Lie algebra
  • Author(s): Minoru Itoh
  • Journal Title: Journal of ALgebra (出版予定)
• [Presentation] テンソル代数における特殊線型群の不変式論の第一基本定理 (2008)
  • Author(s): Minoru Itoh
  • Organizer: 日本数学会年会
  • Place of Presentation: 東大阪市
  • Year and Date: 2008-03-25
• [Presentation] Extensions of the tensor algebra and their applications (2008)
  • Author(s): Minoru Itoh
  • Organizer: Harmonic Analysis on Homogeneous Spaces and Quantization
  • Place of Presentation: 福岡市
  • Year and Date: 2008-02-21
• [Presentation] The first fundamental theorem of invariant theory for special linear groups in tensor algebras (2008)
  • Author(s): Minoru Itoh
  • Organizer: 第3回代数・解析・幾何学セミナー
  • Place of Presentation: 鹿児島市
  • Year and Date: 2008-02-20
• [Presentation] Schur type functions associated to polynomial sequences of binomial type (2007)
  • Author(s): Minoru Itoh
  • Organizer: Representation Theory, Systems of Differential Equations and their Related Topics
  • Place of Presentation: 札幌市
  • Year and Date: 2007-07-05