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Einstein metrics and Ricci flow on singular spaces, and study of the Yamabe invariant

Research Project

Project/Area Number 18H01117
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

Allocation TypeSingle-year Grants
Section一般
Review Section Basic Section 11020:Geometry-related
Research InstitutionChuo University

Principal Investigator

芥川 一雄  中央大学, 理工学部, 教授 (80192920)

Project Period (FY) 2018-04-01 – 2023-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2022)
Budget Amount *help
¥16,250,000 (Direct Cost: ¥12,500,000、Indirect Cost: ¥3,750,000)
Fiscal Year 2022: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000)
Fiscal Year 2021: ¥3,120,000 (Direct Cost: ¥2,400,000、Indirect Cost: ¥720,000)
Fiscal Year 2020: ¥3,250,000 (Direct Cost: ¥2,500,000、Indirect Cost: ¥750,000)
Fiscal Year 2019: ¥3,120,000 (Direct Cost: ¥2,400,000、Indirect Cost: ¥720,000)
Fiscal Year 2018: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000)
Keywordsスカラー曲率 / リッチフロー / 山辺不変量 / 山辺計量 / 特異アインシュタイン計量 / 相対アインシュタイン計量 / 相対山辺計量 / 極小境界計量 / 特異リッチフロー / アインシュタイン計量 / 特異空間 / 特異山辺計量 / Einstein計量
Outline of Annual Research Achievements

パリ大学の Iraria Mondello との特異空間上の特異山辺計量の存在・非存在・特徴付けの研究を前年度に続いて行い,Edge-cone 特異計量を持つ特異球面上で,cone angle が4π以上場合,特異山辺計量の非存在に関する結果を得た.また cone angle が2πより小さい場合,特異山辺計量全体は標準的特異球面の(特異集合を保つ)共形変換による引き戻しによるもの全体と一致するという,小畠型の定理も得た.以上は英語論文にまとめ投稿中である.
境界を持つコンパクトな Einstein 多様体 (M, g) 上で,定スカラー曲率計量(csc-計量)の一意性に関する小畠型定理に関する結果を研究した.境界を持つ場合は,計量 g には
M の境界上でその平均曲率がゼロという minimal boundary condition (MBC) を課すのが自然であることが分かっている.その様な仮定をしても,(M, g) 上の共計類 [g] 内におけるMBC を持つ csc-計量の一意性定理(i.e., 小畠型定理)は成立しないことが Escobar によって知られていた.そこで小畠型定理を [g] 内の MBC を持つ csc-計量達に対してではなく,MBC を持つ Einstein 計量達に対するものと解釈し,一意性定理を得た.以上も英語論文にまとめ投稿中である.
その他,5次元 Heisenberg 群の slab 領域内の minimal Legendre 曲面の面積に関する特徴付けの結果を得た.特にこの研究で得られた,Flux に関する等周型不等式は興味深い.この結果は現在,英語論文作成中である.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

2019年5月末に2週間程度入院して,その後療養等で研究のペースが遅れてしまった.特に,特異リッチフローの研究のリッチフローの研究が順調に進まなかった.
境界付き多様体上のリッチフローの研究は順調に行ったが,この研究中にいろいろな数学的・技術的困難に気が付き,現在まで予想していた様な結果が得られていない.

Strategy for Future Research Activity

先ずは,特異 Einstein 計量の,Ricci 曲率を下限を保ったままの,滑らかな計量族による近似の結果を完成させ,その山辺不変量への応用を研究する.
次に,ファノ・ケーラー多様体に関して,その特異ケーラー Einstein 計量の山辺不変量の応用の研究をする.
境界付きコンパクト多様体上で,conformally compact Einstein 計量の存在定理をお手本として,incomplete Einstein 計量の Dirichlet (または Neumann)問題の研究を行い,相対山辺不変量への応用を考える.

Report

(2 results)
  • 2019 Annual Research Report
  • 2018 Annual Research Report

Research Products

(15 results)

All 2019 2018 Other

All Int'l Joint Research (4 results) Journal Article (3 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results,  Peer Reviewed: 1 results,  Open Access: 1 results) Presentation (4 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results,  Invited: 4 results) Book (1 results) Remarks (1 results) Funded Workshop (2 results)

  • [Int'l Joint Research] Universite Paris 12(フランス)

    • Related Report
      2019 Annual Research Report
  • [Int'l Joint Research] University of Regensburg(ドイツ)

    • Related Report
      2019 Annual Research Report
  • [Int'l Joint Research] Rafe Mazzeo/Stanford University(米国)

    • Related Report
      2018 Annual Research Report
  • [Int'l Joint Research] Ilaria Mondello/Universite Paris Est Creteil(フランス)

    • Related Report
      2018 Annual Research Report
  • [Journal Article] A gap theorem for positive Einstein metrics on the four sphere2019

    • Author(s)
      K. Akutagawa, H. Endo, H. Seshadri
    • Journal Title

      Math. Ann.

      Volume: 373 Pages: 1329-1339

    • DOI

      10.1007/s00208-018-1749-x

    • Related Report
      2019 Annual Research Report 2018 Annual Research Report
    • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] 特異球面上の山辺計量の非存在とcsc計量族の小畠型定理2019

    • Author(s)
      Kazuo Akutagawa
    • Journal Title

      2019年度福岡大学微分幾何研究集会,報告集

      Volume: 1

    • Related Report
      2019 Annual Research Report
  • [Journal Article] Obata-type theorems on compact Einstein manifolds with boundary2019

    • Author(s)
      Kazuo Akutagawa
    • Journal Title

      2018年度福岡大学微分幾何研究集会報告集

      Volume: 1

    • Related Report
      2018 Annual Research Report
  • [Presentation] 特異球面上の山辺計量の非存在とcsc計量族の小畠型定理2019

    • Author(s)
      Kazuo Akutagawa
    • Organizer
      2019年度福岡大学微分幾何研究集会
    • Related Report
      2019 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] Obata-type theorems on compact Einstein manifolds with boundary2019

    • Author(s)
      Kazuo Akutagawa
    • Organizer
      研究集会:リーマン幾何と幾何解析
    • Related Report
      2018 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] Edge-cone Einstein metrics and Yamabe metrics2018

    • Author(s)
      Kazuo Akutagawa
    • Organizer
      国際研究集会:The 10th MSJ-SI: The Role of Metrics in the Theory of Partial Differential Equations
    • Related Report
      2018 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] An Obata-type theorem on compact Einstein manifolds with boundary2018

    • Author(s)
      Kazuo Akutagawa
    • Organizer
      2018年度福岡大学微分幾何研究集会
    • Related Report
      2018 Annual Research Report
    • Invited
  • [Book] 幾何学百科 II 幾何解析2018

    • Author(s)
      芥川和雄
    • Total Pages
      425
    • Publisher
      朝倉書店
    • Related Report
      2018 Annual Research Report
  • [Remarks] Kazuo Akutagawa

    • URL

      https://sites.google.com/site/kazuoakutagawa/

    • Related Report
      2019 Annual Research Report
  • [Funded Workshop] The First Geometry Conference for Friendship of Japan and Germany2019

    • Related Report
      2019 Annual Research Report
  • [Funded Workshop] Geometric Analysis in Geometry and Topology 20182019

    • Related Report
      2018 Annual Research Report

URL: 

Published: 2018-04-23   Modified: 2022-07-01  

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