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非線形波動に関連した偏微分方程式系の解の大域存在のための構造条件と漸近挙動

Research Project

Project/Area Number 18H01128
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

Allocation TypeSingle-year Grants
Section一般
Review Section Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
Research InstitutionOsaka University

Principal Investigator

片山 聡一郎  大阪大学, 理学研究科, 教授 (70283942)

Project Period (FY) 2018-04-01 – 2023-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2022)
Budget Amount *help
¥8,450,000 (Direct Cost: ¥6,500,000、Indirect Cost: ¥1,950,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,690,000 (Direct Cost: ¥1,300,000、Indirect Cost: ¥390,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
Fiscal Year 2019: ¥1,690,000 (Direct Cost: ¥1,300,000、Indirect Cost: ¥390,000)
Fiscal Year 2018: ¥2,210,000 (Direct Cost: ¥1,700,000、Indirect Cost: ¥510,000)
Keywords非線形波動 / 大域解 / 漸近挙動 / 零条件 / 弱零条件 / 非線形波動方程式系 / 非線形波動方程式 / 非線形シュレディンガー方程式 / 初期値問題 / クライン・ゴルドン方程式
Outline of Annual Research Achievements

今年度は成分ごとに伝播速度が異なる半線形波動方程式系の初期値問題を2次元空間において考察した. この場合, 小さな初期値に対する大域解存在の臨界次数は3であり, 3次の非線形項をもつ場合には非線形項の構造に応じて大域解の存在・非存在が決まる. また伝播速度が異なる場合には, 単一速度しか持たない場合と比べて, 証明に使用できるベクトル場が制限されるという困難が発生する. 異なる伝播速度をもち3次の非線形項をもつ場合の小さな初期値に対する大域解存在の十分条件としては, Hoshiga-Kubo による零条件が知られている. 今回, 程 明港氏(大阪大学)との共同研究において, 零条件よりも弱い条件下で小さな初期値に対する大域解の存在を証明することに成功した. この条件は, 単一速度の場合に知られていた``弱''零条件の1種を多重伝播速度の場合に拡張したものになっている. また, 上記の条件の下での大域解の漸近挙動についても考察し, 半線形波動方程式系と関連した簡約化方程式系の解を用いて半線形波動方程式系の大域解の漸近挙動が記述できることを証明した. ただし残念ながら漸近挙動を得るためには若干の付加制約が必要であった,この結果により, 異なる伝播速度をもつ成分からの影響は小さく, 基本的には同一の伝播速度をもつ成分のみで漸近挙動が決定されることが明らかになった.これにより単一速度の場合により精密な漸近挙動を調べることができれば多重速度の場合にも応用できることが分かった.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

当初に予定していた課題の一つがおおむね満足のいく形で解決されたため、おおむね順調に進展していると判断した.

Strategy for Future Research Activity

来年度が最終年度になるため, 当初に計画していた課題のうちでまだ未解決なものに取り組んで行く予定である. 特に2次元空間における準線形波動方程式系の大域解の漸近挙動を中心に研究を推進していこうと考えている.

Report

(4 results)
  • 2021 Annual Research Report
  • 2020 Annual Research Report
  • 2019 Annual Research Report
  • 2018 Annual Research Report

Research Products

(9 results)

All 2021 2020 2019 2018

All Journal Article (3 results) (of which Peer Reviewed: 3 results) Presentation (4 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results,  Invited: 4 results) Funded Workshop (2 results)

  • [Journal Article] 非線形波動方程式系に対する零条件とその周辺2021

    • Author(s)
      片山聡一郎
    • Journal Title

      数学

      Volume: 73 Pages: 380-404

    • NAID

      40022736271

    • Related Report
      2021 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Asymptotic behavior for a class of derivative nonlinear Schroedinger systems2020

    • Author(s)
      Soichiro Katayama and Daisuke Sakoda
    • Journal Title

      SN Partial Differential Equations and Applications

      Volume: 1 Pages: 12-12

    • DOI

      10.1007/s42985-020-00012-4

    • Related Report
      2020 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Global existence and the asymptotic behavior for systems of nonlinear wave equations violating the null condition2020

    • Author(s)
      Soichiro Katayama
    • Journal Title

      Advanced Studies in Pure Mathematics

      Volume: -

    • Related Report
      2019 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Presentation] 臨界次数をもつ非線形波動・シュレディンガー方程式系の大域解の漸近挙動 I, II2020

    • Author(s)
      片山聡一郎
    • Organizer
      PDE Workshop in Miyazaki
    • Related Report
      2019 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] Asymptotic behavior for a class of derivative nonlinear Schroedinger systems2019

    • Author(s)
      片山 聡一郎
    • Organizer
      九州関数方程式論セミナー
    • Related Report
      2019 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] 零条件を満たさない準線形波動方程式系の大域解の漸近挙動2019

    • Author(s)
      片山 聡一郎
    • Organizer
      Nonlinear Dispersive Equations in Kumamoto, 2019
    • Related Report
      2018 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] Global existence and the asymptotic behavior for systems of nonlinear wave equations violating the null condition2018

    • Author(s)
      Soichiro Katayama
    • Organizer
      The Role of Metrics in the Theory of Partial Differential Equations
    • Related Report
      2018 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Funded Workshop] 17th Linear and Nonlinear Waves2019

    • Related Report
      2019 Annual Research Report
  • [Funded Workshop] The 16th Linear and Nonlinear Waves2018

    • Related Report
      2018 Annual Research Report

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Published: 2018-04-23   Modified: 2022-12-28  

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