Index theorem of infinite-dimensional manifolds and noncommutative geometry

• Project/Area Number: 18J00019
• Research Category: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 国内
• Research Field: Geometry
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 高田 土満 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(PD)
• Project Period (FY): 2018-04-25 – 2021-03-31
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2020)
• Budget Amount: ¥3,640,000 (Direct Cost: ¥2,800,000、Indirect Cost: ¥840,000); Fiscal Year 2020: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000); Fiscal Year 2019: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000); Fiscal Year 2018: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
• Keywords: 指数定理 / 無限次元版のBott周期性 / KK理論 / 無限次元多様体 / RKK理論 / ループ群 / ループ空間 / 無限次元多様体のC^*環 / 非可換幾何学 / 指数理論 / ループ群の表現論

Outline of Annual Research Achievements

本年度対外的に発表した成果は，昨年度の結果を論文にまとめ，arXivに投稿したことである．非局所コンパクト空間に対するRKK理論やGuoliang Yu氏が講演で定義した「Hilbert多様体のC^*環」に関する性質の研究などの新しい概念を多く含むことや，「Hilbert多様体のC^*環」に関する詳細な解析的研究を含むことにより，100ページを超える長い論文となった．この結果の位置づけについては昨年度の研究実績を参照のこと．
その後，上記の研究課題を更に進めるには，「Hilbert多様体のC^*環」に対する幾何学的な理解が不可欠であると判断したため，それに関する知見を深めることができ，かつそれ単体で興味深いと思われるいくつかの問題の研究を行っている．現時点ではすぐに発表できる結果は出ていないが，いずれもこれまでの研究の経験を活かせるものである．具体的には，Witten種数の非可換幾何的正当化の研究を行っている．Witten種数は「ループ空間上の同変指数」というアイディアで定義されたものであり，幾何学的状況はこれまでの私の研究対象とはかけ離れているが，上記の論文の結果を直接利用できるところがあった．Witten種数を非可換幾何的に正当化するには決定的なピースが一つ欠けているので，その理論を完成させるのは今後の課題とする．この研究は，本研究課題の文脈で言えば「Hilbert多様体のC^*環に対する理解を深める研究」と位置づけられる．数学全体の文脈で言えば，「Wittenの素朴なアイディアをそのまま数学化する研究」と位置づけられる．いずれにしても重要な位置を占める．
このように，これまでの研究の経験を生かして，当初設定した問題を見据えながらも新たな問題にも挑戦しているところである．

Research Progress Status

令和2年度が最終年度であるため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

令和2年度が最終年度であるため、記入しない。

Research Products

• [Journal Article] LT-equivariant Index from the Viewpoint of KK-theory A Global Analysis on the Infinite-dimensional Heisenberg Group (2020)
  • Author(s): Doman Takata
  • Journal Title: Journal of Geometry and Physics Volume: 150 Pages: 103591-103591
  • DOI: 10.1016/j.geomphys.2019.103591
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] An Analytic LT-equivariant Index and Noncommutative Geometry (2019)
  • Author(s): Doman Takata
  • Journal Title: Journal of Noncommutative Geometry Volume: 印刷中 Issue: 2 Pages: 553-586
  • DOI: 10.4171/jncg/330
  • Peer Reviewed
• [Presentation] An infinite-dimensional index theory and the Higson-Kasparov-Trout algebra (2021)
  • Author(s): Doman Takata
  • Organizer: Operator algebra seminar
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] 無限次元多様体のK理論的Poincare双対 (2020)
  • Author(s): 高田土満
  • Organizer: 関西ゲージ理論セミナー
• [Presentation] Loop group and an index theory for infinite-dimensional manifolds (2019)
  • Author(s): Doman Takata
  • Organizer: Geometry and Topology Seminar
• [Presentation] An infinite-dimensional index theory and the Higson-Kasparov-Trout algebra (2019)
  • Author(s): 高田土満
  • Organizer: 作用素環セミナー
• [Presentation] Towards the infinite-dimensional-version index theorem: Poincare duality (2019)
  • Author(s): Doman Takata
  • Organizer: Noncommutative geometry seminar
  • Int'l Joint Research
• [Presentation] Towards the infinite-dimensional-version index theorem: the latter half of the assembly map (2019)
  • Author(s): Doman Takata
  • Organizer: Noncommutative geometry seminar
  • Int'l Joint Research
• [Presentation] 無限次元空間の同変指数理論と非可換幾何学 (2018)
  • Author(s): 高田土満
  • Organizer: 作用素環セミナー
• [Presentation] 無限次元多様体の解析的指数とKK理論 (2018)
  • Author(s): 高田土満
  • Organizer: 火曜トポロジーセミナー
• [Presentation] 無限次元多様体の解析的指数とKK理論 (2018)
  • Author(s): 高田土満
  • Organizer: 愛媛大学談話会
• [Presentation] Towards an infinite-dimensional index theorem (2018)
  • Author(s): Doman Takata
  • Organizer: K-theory and index theory
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Towards an infinite-dimensional index theorem (2018)
  • Author(s): 高田土満
  • Organizer: 作用素環の最近の進展
  • Invited
• [Presentation] 指数定理とその展開 (2018)
  • Author(s): 高田土満
  • Organizer: ミラー対称性の諸相
  • Invited
• [Presentation] An analytic index theory for infinite-dimensional manifolds and KK- theory (2018)
  • Author(s): Doman Takata
  • Organizer: Workshop on Noncommutative Geometry and Representation Theory
  • Int'l Joint Research / Invited