等質凸領域の研究とその応用

• Project/Area Number: 18J00379
• Research Category: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 国内
• Research Field: Mathematical analysis
• Research Institution: Nagoya University
• Principal Investigator: 中島 秀斗 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 特別研究員(PD)
• Project Period (FY): 2018-04-25 – 2021-03-31
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2020)
• Budget Amount: ¥3,640,000 (Direct Cost: ¥2,800,000、Indirect Cost: ¥840,000); Fiscal Year 2020: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000); Fiscal Year 2019: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000); Fiscal Year 2018: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
• Keywords: 等質開凸錐 / 等質凸領域 / 概均質ベクトル空間 / 可解リー群 / ランダム行列 / 不変微分作用素 / Capelli恒等式 / グラフィカルモデル / 可解Lie群 / 概均質ゼータ関数

Outline of Annual Research Achievements

等質開凸錐に付随する多変数ゼータ関数の函数等式において、昨年度明らかにしたガンマ行列（函数等式の係数行列）が各変数の積に分解され、さらに特別な場合には対角化および完備化されるという結果は、準指標付きの基本相対不変式のフーリエ変換の公式と見做せることを明らかにした。非簡約な概均質ベクトル空間に付随するゼータ関数に対して類似の先行研究はあまり見受けられず、興味深い結果である。

グラフィカルモデルに関連する行列空間の固有値分布について、星型グラフ（デイジーグラフ）に対してウィグナー型およびウィシャート型という2種類のランダム行列を導入し、それらに対する固有値分布関数の明示的な公式を得た。特にウィシャート型における固有値分布関数は、ランベルト関数を一般化した関数（ランベルト-ツァリス関数）を用いて記述される。このランベルト-ツァリス関数についても性質を詳しく調べており、現在論文を準備中である。またA3型のグラフや多重対角行列など、他のグラフィカルモデルに対する計算も行っている。本研究はPiotr Graczyk教授との共同研究である。

等質空間上の不変微分作用素環について、昨年度に発展させた手法を用いて、Ishi-Kogiso (2016)で予想された sub-Hankel 行列式に関する概均質ベクトル空間のb-関数の公式について、肯定的に解決した。その過程において、この概均質ベクトル空間の基本相対不変式の満たすカペリ型恒等式を明示的に与えている。

Research Progress Status

令和2年度が最終年度であるため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

令和2年度が最終年度であるため、記入しない。

Research Products

• [Int'l Joint Research] アンジェ大学(フランス)
• [Journal Article] Rings of invariant differential operators on homogeneous cones and Capelli-type identity (2021)
  • Author(s): Hideto Nakashima
  • Journal Title: Proceedings of Tunisian-Japanese Conference 2019 Volume: -
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Wigner and Wishart Ensembles for sparse Vinberg models (2021)
  • Author(s): Hideto Nakashima and Piotr Graczyk
  • Journal Title: Annals of the Institute of Statistical Mathematics Volume: -
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Functional equations of zeta functions associated with homogeneous cones (2020)
  • Author(s): Hideto Nakashima
  • Journal Title: Tohoku Mathematical Journal Volume: 72 Issue: 3 Pages: 349-378
  • DOI: 10.2748/tmj/1601085620
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] 等質開凸錐の基本相対不変式の明示公式の代数的証明 (2019)
  • Author(s): 中島秀斗
  • Journal Title: 数理解析研究所講究録 Volume: 2139
  • Open Access
• [Journal Article] 等質開凸錐に付随する多変数ゼータ関数の関数等式の対角化および完備化について (2019)
  • Author(s): 中島秀斗
  • Journal Title: 2019年度表現論シンポジウム講演集 Volume: - Pages: 1-10
  • NAID: 130008005070
• [Journal Article] Functional equations of zeta functions associated with homogeneous cones (2019)
  • Author(s): H. Nakashima
  • Journal Title: Tohoku Mathematical Journal Volume: 印刷中
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] 等質開凸錐に付随するゼータ関数の関数等式 (2019)
  • Author(s): 中島秀斗
  • Journal Title: 数理解析研究所講究録 Volume: 2103
  • Open Access
• [Journal Article] 等質開凸錐に付随する多変数ゼータ関数について (2018)
  • Author(s): 中島秀斗
  • Journal Title: 2018年度表現論シンポジウム講演集 Volume: -
  • NAID: 130008005057
• [Presentation] Lambert関数の一般化について (2021)
  • Author(s): 中島秀斗
  • Organizer: 2020年度表現論ワークショップ
• [Presentation] 一般化Vinberg錐上の不変微分作用素環におけるCapelli型恒等式について (2020)
  • Author(s): 中島秀斗
  • Organizer: 2020年度日本数学会秋季総合文化会
• [Presentation] ある概均質ベクトル空間のb-関数と不変微分作用素について (2020)
  • Author(s): 中島秀斗
  • Organizer: 概均質ベクトル空間ミニワークショップ
• [Presentation] Eigenvalue distributions of Wigner and Wishart ensembles of Vinberg matrices (2020)
  • Author(s): Hideto Nakashima
  • Organizer: Mathematical Methods of Modern Statistics 2
  • Int'l Joint Research
• [Presentation] 等質錐に関連するランダム行列の固有値分布について（その２） (2020)
  • Author(s): 中島秀斗
  • Organizer: 2019年度表現論ワークショップ
• [Presentation] 等質開凸錐の基本相対不変式の明示公式の代数的証明 (2019)
  • Author(s): 中島秀斗
  • Organizer: RIMS共同研究「表現論とその周辺分野の進展」
• [Presentation] 等質開凸錐に付随する多変数ゼータ関数の関数等式の対角化および完備化について (2019)
  • Author(s): 中島秀斗
  • Organizer: 2018年度表現論シンポジウム
• [Presentation] Functional equations of zeta functions associated with homogeneous cones and their completion (2019)
  • Author(s): Hideto Nakashima
  • Organizer: 6th Tunisian-Japanese conference “Geometric and Harmonic Analysis on Homogeneous Spaces and Applications”,
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] 等質錐に関連するランダム行列の固有値分布について (2019)
  • Author(s): 中島秀斗
  • Organizer: 2018年度表現論ワークショップ
• [Presentation] 等質開凸錐に付随する多変数ゼータ関数とその関数等式について (2019)
  • Author(s): 中島秀斗
  • Organizer: 日本数学会2019年度年会
• [Presentation] 等質開凸錐に付随するゼータ関数の関数等式 (2018)
  • Author(s): 中島秀斗
  • Organizer: RIMS共同研究「表現論と代数、解析、幾何をめぐる諸問題」
• [Presentation] 等質開凸錐に付随する多変数ゼータ関数について (2018)
  • Author(s): 中島秀斗
  • Organizer: 2018年度表現論シンポジウム
• [Remarks] Homepage of h-nakashima
  • URL: http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~h-nakashima/index.html