分岐により不安定化した進行波から離れる解の漸近挙動の研究

Research Project

Project/Area Number	18J00947
Research Category	Grant-in-Aid for JSPS Fellows
Allocation Type	Single-year Grants
Section	国内
Research Field	Mathematical analysis
Research Institution	Hiroshima University
Research Fellow	山崎陽平広島大学, 理学研究科, 特別研究員(PD)
Project Period (FY)	2018-04-25 – 2021-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2020)
Budget Amount *help	¥4,030,000 (Direct Cost: ¥3,100,000、Indirect Cost: ¥930,000) Fiscal Year 2020: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000) Fiscal Year 2019: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000) Fiscal Year 2018: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
Keywords	中心安定多様体 / 横方向不安定性 / Zakharov-Kuznetsov方程式 / 線状進行波
Outline of Annual Research Achievements	分岐点となる不安定な線状進行波周りの中心安定多様体について研究した。私の以前の研究により、ある臨界速度と呼ばれる進行速度が存在し、横方向に周期境界条件を課したZakharov-Kuznetsov方程式の線状進行波に対して、臨界速度より進行速度が遅い線状進行波は安定であり、臨界速度より進行速度が真に速い線状進行波は不安定になることを示した。特に、臨界速度では線状進行波は安定になることを示した。この臨界速度をもつ線状進行波は進行波を定める定常方程式の進行速度をパラメータとする分岐点となる。この分岐により、リャプノフ関数の2次の項が退化しており、退化した成分に関してリャプノフ関数の4次の項の正値性を示すことで、臨界速度をもつ線状進行波の安定性を示した。分岐点となる不安定な線状進行波周りの中心安定多様体の構成では、中心安定多様体上にリャプノフ関数を制限し、その4次のテイラー展開に相当する情報が必要と考えられる。しかし、臨界速度を持つ線状進行波の安定性を示す際に得られているリャプノフ関数の情報は、全空間上の4次のテイラー展開の情報である。従って、中心安定多様体上のリャプノフ関数の4次のテイラー展開を得るには、分岐点でない線状進行波周りの中心安定多様体の構成では必要ない、リャプノフ関数の退化方向に関する中心安定多様体の2次変分の対応する情報が一般には必要になると考えられる。故に、退化方向に関する中心安定多様体の2次変分に関する評価と中心安定多様体上のリャプノフ関数の4次のテイラー展開を求めた。この計算により、退化方向に関するリャプノフ関数の4次のテイラー展開の主要項には中心安定多様体の2次変分は含まれないことが結果的に分かり、分岐点となる不安定な線状進行波周りの中心安定多様体を構成できた。また、中心安定多様体上の解の漸近挙動に対して、漸近安定性と同様の議論で解析できることも分かった。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 退化方向に関する中心安定多様体の2次変分に関する評価とリャプノフ関数の展開により、中心安定多様体上の4次のテイラー展開に対応する情報を得ることができ、分岐点となる不安定な線状進行波周りの中心安定多様体を構成できた。また、中心安定多様体上の解の漸近挙動に対して、漸近安定性と同様の議論で解析できることも分かった。
Strategy for Future Research Activity	Zakharov-Kuznetsov方程式の多重進行波とその周りの解の挙動を研究し、不安定な線状進行波から離れる解の挙動を調べる。また、他の方程式の線状進行波の安定性を調べることで、一般的な枠組みでの線状進行波の安定性の研究を進展させる。