分岐により不安定化した進行波から離れる解の漸近挙動の研究

Research Project

Project/Area Number	18J00947
Research Category	Grant-in-Aid for JSPS Fellows
Allocation Type	Single-year Grants
Section	国内
Research Field	Mathematical analysis
Research Institution	Hiroshima University
Research Fellow	山崎陽平広島大学, 理学研究科, 特別研究員(PD)
Project Period (FY)	2018-04-25 – 2021-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2020)
Budget Amount *help	¥4,030,000 (Direct Cost: ¥3,100,000、Indirect Cost: ¥930,000) Fiscal Year 2020: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000) Fiscal Year 2019: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000) Fiscal Year 2018: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
Keywords	中心安定多様体 / 横方向不安定性 / Zakharov-Kuznetsov方程式 / 線状進行波
Outline of Annual Research Achievements	本年度は、前年度に研究した、Zakharov-Kuznetsov方程式に対し、分岐点となる不安定な線状進行波に対する中心安定多様体の構成の研究をまとめた論文を作成し、投稿した。ある臨界速度と呼ばれる進行速度が存在し、横方向に周期境界条件を課したZakharov-Kuznetsov方程式の線状進行波に対して、臨界速度より進行速度が遅い線状進行波は安定であり、臨界速度より進行速度が真に速い線状進行波は不安定になる。分岐点となる不安定な線状進行波周りの線形化作用素は臨界速度の線状進行波の線形化作用素と同様に余分な0固有値に対応する固有関数を持つ。このため、中心安定多様体の候補となる不変多様体上のリャプノフ関数の2次の項が退化しており、退化方向に関するリャプノフ関数の4次の項の正値性を示すことで、不変多様体上で分岐点となる不安定な線状進行波が軌道安定になることを示した。ここで、リャプノフ関数をテイラー展開したときに現れる線形化作用素の不安定方向と安定方向に関する項を誤差項として評価する必要がある。しかし、先行研究および一昨年までの私の研究で構成したリプシッツな不変多様体上での評価では、誤差項が3次の項になり、退化方向の次数である4次より低くなるため、軌道安定性を示せなかった。これを解決するために、分岐点となる不安定な線状進行波において、接超平面とa次（a＞3/2）接触する不変多様体を構成し、bootstrap法を用いて、誤差項の次数をより精密に評価することで、リャプノフ関数の主要項で誤差項を評価した。これにより、構成した不変多様体上で線状進行波の軌道安定性を示した。非線形性を制御し、リャプノフ関数のテイラー展開が得られれば、他の方程式に対しても、この結果を分岐点となる不安定な進行波解の周りの中心安定多様体の構成に応用できる点に意義がある。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 3: Progress in research has been slightly delayed. Reason 前年度に研究した、分岐点となる不安定な線状進行波に対する中心安定多様体の構成の研究をまとめた論文を作成し、投稿した。一方、完全可積分である Davey-Stewartson 方程式の線状進行波の安定性解析を行うための準備を行っていたため、当初計画していた多重進行波に関して、研究結果を出せなかったため。
Strategy for Future Research Activity	Davey-Stewartson-II方程式の線状進行波の安定性を調べる。Davey-Stewartson-II方程式は空間1次元の非線形Schrodinger方程式に横方向の分散項を加えた空間2次元の方程式である。通常の空間2次元の非線形Schrodinger方程式と横方向の分散項の符号が異なるため、RoussetとTzvetkovによる横方向不安定性を用いて、Davey-Stewartson-II方程式の線状進行波の安定性を示すことはできない。Davey-Stewartson-II方程式は完全可積分性であることに着目して、線状進行波周りの線形化作用素を詳細に調べることで、線状進行波の安定性を示す。また、Zakharov--Kuznetsov方程式の多重進行波の存在と安定性を調べる。横方向に周期境界を課したZakharov--Kuznetsov方程式は、安定な線状進行波と不安定な線状進行波、横方向に依存する安定な進行波を持つ。これらのどのような組み合わせの多重進行波が存在するか、その多重進行波が安定であるか調べる。最後に、Zakharov--Kuznetsov方程式の線状進行波から離れる解の挙動について調べる。中心安定多様体や多重進行波の性質や群速度を調べるvirial等式等を用いて、不安定な線状進行波から離れる解が具体的にどの進行波に漸近するか、漸近する進行波はどのような性質を持つか調べる。