正標数代数曲線の同型類の幾何的基本群による復元

Research Project

Project/Area Number	18J13541
Research Category	Grant-in-Aid for JSPS Fellows
Allocation Type	Single-year Grants
Section	国内
Research Field	Algebra
Research Institution	Kyoto University
Research Fellow	更科明京都大学, 理学研究科, 特別研究員(DC2)
Project Period (FY)	2018-04-25 – 2020-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2019)
Budget Amount *help	¥1,500,000 (Direct Cost: ¥1,500,000) Fiscal Year 2019: ¥700,000 (Direct Cost: ¥700,000) Fiscal Year 2018: ¥800,000 (Direct Cost: ¥800,000)
Keywords	遠アーベル幾何 / Grothendieck予想 / 正標数 / 曲線
Outline of Annual Research Achievements	正標数代数閉体上の曲線に対するGrothendieck予想について研究し、標数が2でない素体の代数閉包上の(1,1)タイプの曲線の同型類が元の曲線のtame基本群から復元できる、すなわち二つのtame基本群が同型である曲線が存在し一方が(1,1)タイプの曲線であるとき元の曲線がスキームとして同型であるという結果を得た。この結果は既に得られていた標数が2でない素体の代数閉包上の(1,1)タイプの曲線の同型類が元の曲線の幾何的基本群から復元できるという結果の一般化であり、玉川安騎男氏による種数0(すなわち(0,n)タイプ)の曲線の同型類がtame基本群から復元できるという結果の類似である。証明中に用いられた超楕円曲線に対する補題や楕円曲線の群構造と射影直線(引く1点)の加法構造を組み合わせて使うテクニック等も一般化する事ができたため、類似の方法で曲線のエタール基本群からの復元が示せた場合、tame基本群に対する結果に一般化できる可能性がある。玉川安騎男氏により同型なtame基本群を持つ(正標数の素体の代数閉包上の)曲線の同型類は(特別な場合を除いて)有限個しかないという結果が示されているが、唯一つに定まるという結果は上記の例を除いて知られていない。この結果は、これまで種数が0の場合、すなわち射影直線の開部分スキームに対してしか知られていなかった結果を(特別な場合ではあるものの)高い種数の曲線に対して示したという意味で意義のある結果である。また研究集会に出席し自身の研究について講演を行った。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 正標数代数閉体上の種数が1以上の曲線に対するGrothendieck予想は未解決であったが(1,1)タイプの曲線に対して示す事ができた。また、より弱い不変量がtame基本群から復元できるという結果をいくつか得る事ができた。これらの部分的な結果の多くは(1,1)タイプの曲線より一般の場合に示されているため、これらを用いて更なる結果が得られる可能性がある。
Strategy for Future Research Activity	これまでに得られた部分的な結果を用いて一般の場合に同様の結果が得られるか模索する。また関連する理論を学び代数閉体上の曲線の基本群に対する理解を深めていく。