Looking for index theorems in scattering theory
| Project/Area Number |
18J21491
|
|---|
| Research Category |
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
|
| Allocation Type | Single-year Grants |
|---|
| Section | 国内 |
|---|
| Research Field |
Basic analysis
|
|---|
| Research Institution | Nagoya University |
|---|
| Research Fellow |
井上 秀樹 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2018-04-25 – 2021-03-31
|
| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2020)
|
| Budget Amount *help |
¥2,800,000 (Direct Cost: ¥2,800,000)
Fiscal Year 2020: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2019: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2018: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000)
|
|---|
| Keywords | 散乱理論 / シュレーディンガー作用素 / 離散シュレーディンガー作用素 / 波動作用素 / 散乱作用素 / 束縛状態 / Levinsonの定理 / 指数定理 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
スペクトル散乱理論において、散乱量子系の束縛状態の個数と散乱の情報を結びつける関係式はLevinsonの定理と呼ばれ、現在に至るまで様々な設定で研究されてきた。本研究の最大の目的は、Levinsonの定理に対する非可換幾何学を用いた枠組みを一般化し、散乱理論を通じて様々な量子系に対してLevinson型指数定理や新しい位相不変量を対応させることである。
本年度は、複素係数を持つ逆２乗型ポテンシャルによる散乱問題と連続および離散半直線上の一次元シュレーディンガー作用素に対して、波動作用素の明示公式とそれを用いたLevinson型指数定理を考察した。逆二乗型ポテンシャルについては、複素固有値や無限個の束縛状態を持つ場合に対してもLevinson型指数定理が拡張可能であること、またexceptionalな場合には拡張が出来ないことを示した。一方、半直線上のポテンシャル散乱については、連続モデルではLevinson型指数定理の仮定をoptimalなものまで弱められることと、離散モデルでも連続モデルと同様な結果が得られることを示した。また、Surface Malyland Modelと呼ばれる準周期的結晶の境界面での散乱を記述する離散シュレーディンガー作用素や、半単純リー群の表現論に対する散乱理論の応用についても調査した。
これまでに得られた成果に関して、名古屋大学のS. Richard氏との共著論文一編と単著プレプリント一編を公表した。また、２つの海外研究集会を含む５つの研究集会と３カ所での学外セミナーにおいて研究成果の発表を行なった。さらに12月にはメキシコで行われたCIMPA主催の冬の学校「Noncommutative Geometry and Index Theory」に参加し、非可換幾何学の最新の研究成果に関する情報収集や研究者らとの議論を行なった。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
本年度は、本研究の最大の目的であるLevinson型指数定理の一般化を達成するために様々なモデルの考察を行い、それぞれに対して進展があった。
連続半直線上の複素係数を持つ逆二乗型ポテンシャルに対する散乱問題について、名古屋大学のS. Richard氏との共同研究を昨年度から継続して行なった。昨年度は、束縛状態が無限個ある場合に対してΓ指数定理の枠組みを導入し、Levinsonの定理の拡張を行なった。本年度は、spectral singularityというある種の特異点が現れるexceptional caseを考察し、exceptional caseでは散乱作用素が可逆にならず、束縛状態が有限個であっても波動作用素がFredholm作用素でないため、従来の手法ではLevinson型指数定理が得られないことがわかった。以上の成果についてS. Richard氏との共著論文を公表した。
1次元シュレーディンガー作用素に対するLevinson型指数定理は、ポテンシャルが無限遠方で-7/2次式より速く減衰するという強い仮定のもとで知られていた。一方、束縛状態の個数が有限となるボーダーラインは-2次であることが知られている。本年度は、連続半直線上の有界な実ポテンシャルによる散乱について、古典的な積分方程式の手法を改良することで、このボーダーラインまで波動作用素の明示公式とLevinson型指数定理が拡張できることを示し、単著プレプリントとして成果を報告した。
また、名古屋大学の津々直大氏との共同研究によって、離散半直線上のシュレーディンガー作用素に対してもポテンシャルが十分速く減衰する場合に連続モデルと同様な結果が得られており、現在論文を執筆中である。
以上に加えて、準周期的結晶を記述する離散シュレーディンガー作用素や半単純リー群のカシミール作用素に対する散乱問題についても考察を続けている。
|
| Strategy for Future Research Activity |
逆二乗型ポテンシャルに関する成果は、シュレーディンガー方程式の解が特殊関数を用いて表示できることに大きく依存しており、なぜ束縛状態が無限個ある場合にΓ指数定理が現れるのかは不明である。一方、本年度に示した波動作用素の明示公式は、一般の有界な短距離型のポテンシャルに対しても、低次項の無限遠方での挙動を無視すればそのまま成立する。そこで、無限個の束縛状態を持つ系へのLevinson型指数定理の拡張に向けて、この低次項の精密な解析を行い、適切な作用素環の枠組みを考察する。
また、離散シュレーディンガー作用素に対して本年度に得られた成果の応用を行う。J. Avron氏とL. Sadun氏の研究により、行列値の作用素の族に対して散乱状態の断熱曲率と位相不変量の関係が得られているが、本研究ではこの関係に対して波動作用素の明示公式を用いたK理論的な解釈を与えることを目指す。一方、準周期的結晶の境界面と粒子の相互作用を記述する離散モデルに対しても、本年度に得られた解析の手法を応用して波動作用素の明示公式の導出を行い、Levinson型指数定理を考察する。
さらに、Levinson型指数定理の表現論への応用として、非コンパクトリー群のカシミール作用素に対する散乱問題の具体的な解析を進める。ランク1の半単純リー群の場合、動径方向に着目することでこの散乱問題は半直線上のポテンシャルの族に対する散乱問題に帰着される。そこで、逆二乗型ポテンシャルと同様に、特殊関数を用いた具体的な解析を行うことで波動作用素の明示公式が得られると考えられる。この研究について2019年4月からペンシルベニア州立大学のN. Higson氏の下への短期間滞在し議論を行う計画である。
|
Report
(1 results)
Research Products
(10 results)
