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トロピカル幾何の構造調査によるミラー対称性の研究

Research Project

Project/Area Number 18J21511
Research Category

Grant-in-Aid for JSPS Fellows

Allocation TypeSingle-year Grants
Section国内
Research Field Geometry
Research InstitutionKyoto University
Research Fellow 鷲見 拳  京都大学, 理学研究科, 特別研究員(DC1)
Project Period (FY) 2018-04-25 – 2021-03-31
Project Status Completed (Fiscal Year 2020)
Budget Amount *help
¥2,200,000 (Direct Cost: ¥2,200,000)
Fiscal Year 2020: ¥700,000 (Direct Cost: ¥700,000)
Fiscal Year 2019: ¥700,000 (Direct Cost: ¥700,000)
Fiscal Year 2018: ¥800,000 (Direct Cost: ¥800,000)
Keywordsトロピカル幾何 / トロピカルトーリック多様体 / リーマンロッホ / リーマン・ロッホ / tropical geometry / Riemann-Roch / tropical abelian variety / theta function
Outline of Annual Research Achievements

本年度は、一般次元のトロピカル多様体上の因子の階数と、因子に対応した線束の正則切断全体がなすトロピカル加群との関係を調べた。その結果を応用して、トロピカルトーリック曲面に対するリーマン・ロッホの不等式を得た。また新たな研究のアプローチの着想もいくつか得られた。
因子の階数の定義は古典的な場合と異なっており、正則切断全体がなすトロピカル加群からはただちには計算ができないものになっている。因子の階数が計算できたトロピカルアーベル多様体に対する研究から着想を得て、正則切断全体がなすトロピカル加群の生成元を確認することでただちに計算できる二つの量を定義し、それらによって因子の階数が上下から挟まれることを示した。特にトロピカルトーリック多様体上の因子に対してはそれら二つの量は一致することを示し、それを用いて因子の階数を計算した。
また、上記の研究とトロピカル因子の交点理論についての先行研究を合わせることで、結論としてリーマン・ロッホの不等式を得ることができた。この結果は論文として執筆中であり、ワークショップで発表するなどしている。
上記及び前回の研究からトロピカルアーベル多様体とトロピカルトーリック多様体に対してリーマン・ロッホの不等式を得ることができたが、その結果はどちらも複素代数幾何で得られる結果と非常に適合するものになっている。これは複素代数幾何とトロピカル幾何の対応を観察する手掛かりの一つである。この対応を観察することで理論の一般化ができる期待があり、その研究のため代数多様体の崩壊理論について現在勉強中である。

Research Progress Status

令和2年度が最終年度であるため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

令和2年度が最終年度であるため、記入しない。

Report

(3 results)
  • 2020 Annual Research Report
  • 2019 Annual Research Report
  • 2018 Annual Research Report

Research Products

(9 results)

All 2021 2019 2018

All Journal Article (1 results) (of which Peer Reviewed: 1 results) Presentation (8 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results,  Invited: 1 results)

  • [Journal Article] Tropical Theta Functions and Riemann-Roch Inequality for Abelian Surfaces2021

    • Author(s)
      Ken Sumi
    • Journal Title

      Mathematische Zeitschrift

      Volume: 297 Pages: 1329-1351

    • DOI

      10.1007/s00209-020-02559-9

    • Related Report
      2020 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Presentation] トロピカル幾何における因子の階数と大域切断全体の関係について2021

    • Author(s)
      鷲見拳
    • Organizer
      第三回トロピカル幾何ワークショップ
    • Related Report
      2020 Annual Research Report
  • [Presentation] The Riemann-Roch inequality for tropical abelian surfaces2019

    • Author(s)
      鷲見拳
    • Organizer
      京都大学代数幾何セミナー
    • Related Report
      2019 Annual Research Report
  • [Presentation] トロピカル曲線上のリーマン・ロッホの定理2019

    • Author(s)
      鷲見拳
    • Organizer
      玉原代数幾何サマースクール
    • Related Report
      2019 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] The Riemann-Roch inequality for tropical abelian surfaces2019

    • Author(s)
      鷲見拳
    • Organizer
      日本数学会秋季総合分科会
    • Related Report
      2019 Annual Research Report
  • [Presentation] Tropical Riemann-Roch inequality on tropical abelian surfaces2019

    • Author(s)
      鷲見拳
    • Organizer
      East Asian Core Doctorial Forum on Mathematics 2019
    • Related Report
      2018 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] トロピカル幾何学と Riemann-Roch の定理2019

    • Author(s)
      鷲見拳
    • Organizer
      第 15 回数学総合若手研究集会
    • Related Report
      2018 Annual Research Report
  • [Presentation] Theta functions and Reimann-Roch inequality on tropical abelian surfaces2018

    • Author(s)
      鷲見拳
    • Organizer
      城崎代数幾何シンポジウム 2018
    • Related Report
      2018 Annual Research Report
  • [Presentation] A rank of divisors on tropical tori2018

    • Author(s)
      鷲見拳
    • Organizer
      トロピカル幾何ワークショップ
    • Related Report
      2018 Annual Research Report

URL: 

Published: 2018-05-01   Modified: 2021-12-27  

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