随伴形式とspherical多様体の超曲面のトレリ型問題

Research Project

Project/Area Number	19F19780
Research Category	Grant-in-Aid for JSPS Fellows
Allocation Type	Single-year Grants
Section	外国
Review Section	Basic Section 11010:Algebra-related
Research Institution	The University of Tokyo
Host Researcher	小木曽啓示東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (40224133)
Foreign Research Fellow	RIZZI LUCA 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 外国人特別研究員
Project Period (FY)	2019-11-08 – 2022-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2021)
Budget Amount *help	¥2,200,000 (Direct Cost: ¥2,200,000) Fiscal Year 2021: ¥500,000 (Direct Cost: ¥500,000) Fiscal Year 2020: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000) Fiscal Year 2019: ¥600,000 (Direct Cost: ¥600,000)
Keywords	無限小Torelli問題 / hypersurfaces / Massey product / 有理等質多様体
Outline of Research at the Start	n次元複素射影多様体がそのホッジ構造から復元できるかを問う問題はトレリ問題と呼ばれ、代数幾何学の一つの中心的研究テーマである。これは、言い換えれば、n次元複素射影多様体にそのホッジ構造を対応させる写像--周期写像と呼ばれる--が単射かという問題である。これから派生した問題として、周期写像が生成的に単射であるかを問う問題（生成トレリ問題）や周期写像の微分が単射であるかを問う問題（無限小トレリ問題）があり、これらもトレリ問題を攻略するうえで重要な問題である。申請者の主な研究テーマは無限小トレリ問題である。
Outline of Annual Research Achievements	本研究計画の主題である無限小Torell型定理とそれに密接に関わる周期写像の微分などについて調べ、いくつかの新たな結果を得ることができた。その結果は、論文 "Luca Rizzi, On Massey products and rational homogeneous varieties"にまとめ、ArXivに公表した（ArXiv:2012.06375).具体的には、ピカール数が１である有理等質空間の超曲面に対し、その周期写像の微分をMassey積の観点から調べ、周期写像の微分が与えられた無限小変形方向に消えることとを、より代数的な条件である、ある種の捻じれ微分形式が超曲面のヤコビイデアル環の元になることと同値であることを（２つの例外を除き）示した。また、トーリック多様体の拡張である対数的平行化可能多様体と呼ばれる多様体の超曲面に対し、その超曲面が属する豊富線形系に対する自然な条件のもとで、無限小Torelli型定理が成立することを示した。上記研究以外にも、やはり、Massey積を用いた、曲線上の多様体の半安定族の双対的微分形式に関する、Zucconi教授との共同研究を行い、論文"Luca Rizzi, Francesco Zucconi, FUJITA decomposition and Massey product for fibered varieties"にまとめ、ArXivに公表した（ArXiv:2007.01473).
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 研究実績概要にも述べたように、2020年度は、当該研究分野に関する２つの論文を作成し、公表するなど、研究進捗状況は順調である。
Strategy for Future Research Activity	本研究計画の主題である超曲面に対する無限小Torell型定理の研究、特に、有理等質空間の超曲面に対する無限小Torelli型問題とその周辺、2020年度に着手した対数的平行化可能多様体と呼ばれる多様体の超曲面に対する無限小Torelli型問題とその周辺の研究を更に推進させることで、最終年度の締めくくりとしたい。