Project/Area Number |
19H05597
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Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (S)
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Allocation Type | Single-year Grants |
Review Section |
Broad Section B
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Research Institution | Tohoku University |
Principal Investigator |
小川 卓克 東北大学, 理学研究科, 教授 (20224107)
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Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
川島 秀一 早稲田大学, 理工学術院総合研究所(理工学研究所), その他(招聘研究員) (70144631)
高橋 太 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 教授 (10374901)
瀬片 純市 九州大学, 数理学研究院, 教授 (90432822)
前川 泰則 京都大学, 理学研究科, 教授 (70507954)
服部 裕司 東北大学, 流体科学研究所, 教授 (70261469)
岩渕 司 東北大学, 理学研究科, 准教授 (40634697)
猪奥 倫左 東北大学, 理学研究科, 准教授 (50624607)
林 仲夫 大阪大学, 理学研究科, 教授 (30173016)
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Project Period (FY) |
2019-06-26 – 2024-03-31
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Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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Budget Amount *help |
¥131,170,000 (Direct Cost: ¥100,900,000、Indirect Cost: ¥30,270,000)
Fiscal Year 2023: ¥23,010,000 (Direct Cost: ¥17,700,000、Indirect Cost: ¥5,310,000)
Fiscal Year 2022: ¥27,040,000 (Direct Cost: ¥20,800,000、Indirect Cost: ¥6,240,000)
Fiscal Year 2021: ¥25,870,000 (Direct Cost: ¥19,900,000、Indirect Cost: ¥5,970,000)
Fiscal Year 2020: ¥26,390,000 (Direct Cost: ¥20,300,000、Indirect Cost: ¥6,090,000)
Fiscal Year 2019: ¥28,860,000 (Direct Cost: ¥22,200,000、Indirect Cost: ¥6,660,000)
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Keywords | 臨界問題 / 適切性 / 漸近解析 / 粘性流体 / 非線型偏微分方程式 / 臨界指数 / 最大正則性 / 初期値境界値問題 / 非線形分散型方程式 / 圧縮性・非圧縮性粘性流体方程式 / Anderson-Chaplain 方程式 / 臨界特異摂動 / 端点最大正則性 / 有界平均振動(BMO) / 非線型シュレディンガー方程式 / 非線型境界値問題 / 臨界適切性 / ナビエストークス方程式 / 移流拡散方程式 / 臨界最大正則性 / Keller-Segel 方程式 / 緩和時間零極限 / 一般化された最大正則性 / 消散型非線型シュレディンガー方程式 / 変数係数放物型問題 / Foureri-Sobolev空間 / MHD方程式 / 臨界型非線型問題 / Navier-Stokes方程式 / 臨界型非線型分散問題 / 臨界函数不等式 / 臨界型問題 / Shannonの不等式 / 緩和時間極限 / 不確定性原理 / 高速拡散型退化放物型問題 / Keller-Segel方程式 / 臨界型不等式 / 非線形偏微分方程式 / 変分問題 / 流体方程式 |
Outline of Research at the Start |
本研究では、非線形偏微分方程式で表される数理モデルに対して、実補間理論を駆使した精密な議論や複素解析学からの技法を援用して、臨界性に隠された桁落ち特異性発生の構造を探る. 非線形偏微分方程式の解の挙動などを切り分ける臨界現象の数理構造を明らかにするために臨界拮抗時に発生する特異性を検出・制御する理論を開発する. 桁落ち特異性, すなわち最高次数よりも解析学的に次数の低い対数程度の特異性を解析学的に取り扱う有効な技法を見いだし, 臨界型汎用函数不等式や実補間空間論と融合することにより, 臨界特異性の解析に有効な対数次数の特異点の制御に適合した技法を考案する.
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Outline of Annual Research Achievements |
研究代表者の小川は医療数理に現れる走化性粘菌モデルを表す非線形放物型方程式系の特異極限を考察し, これらの共通の数理構造である非局所型放物型問題の初期値問題に対する特異極限を考察し, 特に癌の浸潤モデルであるAnderson-Chapliain モデルに対する特異極限をスケールリング臨界空間で実現し, 元々のモデルとの相関に非回帰的Banach空間の一つである, 有界平均振動のクラスでの熱方程式の最大正則性を証明し, 導入された時空空間が初期条件が有界平均振動でありながら最大正則性を保つ必要かつ十分な空間であることを示した. また研究協力者の黒木場正城氏(室蘭工大・工・故人)と共同で, 数理モデルとしてとりわけ重要な空間2次元の走化性モデルにおいて, スケール臨界クラスである有界平均振動のクラスにおける非線形方程式の解に対して, 同様の特異極限を証明した. 証明には有界平均振動のクラスにおける最大正則性とともに, 非斉次Besov空間における最大正則性から得られる評価により証明される. 半空間における非線型シュレディンガー方程式の初期値境界値問題に対して, 非斉次Dirichlet 境界条件, および非斉次Neumann境界条件を課した上で, その会の可解性と小さいデータに対する時間大域解の存在と解の漸近挙動について, 林 仲夫氏とElena Kaikina氏と共同で研究した. 空間2次元での圧縮性Navier-Stokes 方程式の等エントロピー条件の下での, 時間局所適切性の限界空間をスケール不変な斉次Besov 空間において考察し, 方程式が適切とならずに初期条件との強い不連続性を発生させる初期条件を提示してすべての可積分指数での臨界空間での端点非適切性を示した..
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Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ケラーシーゲル系の特異極限の結果は, その後, 医療数理に現れる走化性粘菌モデルを表す非線形放物型方程式系の特異極限に展開され, これらの共通の数理構造である非局所型放物型問題の初期値問題に対する特異極限を考察の後, 特に癌の浸潤モデルであるAnderson-Chapliain モデルに対する特異極限をスケールリング臨界空間で実現した. これは臨界空間における特異摂動に対する, 本研究の主要目的の成果としてあげられるものである. その際, 元々のモデルとの相関に非回帰的Banach空間の一つである, 有界平均振動のクラスでの熱方程式の最大正則性を導入し, 解のクラスである時空空間が初期条件が有界平均振動でありながら最大正則性を保つ必要かつ十分な空間であることを示した. この結果はそれ自身, 非回帰的空間における, 最大正則性として一般論からは得られない事実であり, 臨界空間の構造研究の一つとして, 顕著な成果としてあげられる.
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Strategy for Future Research Activity |
2021年度の研究を踏まえ, その後の延長期間において, スケール不変空間における特異摂動問題の安定性(特異摂動極限が安定に得られるかどうか?)を探る研究を継続し, 延長期間において, Keller-Segel 方程式系に続いて, 医療数学に現れる, Anderson-Chaplain 方程式に対する特異摂動の成果や, より微妙な有界平均振動における最大正則性を通じた, 2次元問題へのより詳細な研究を行うことができた. 今後はこうした臨界空間における特異極限問題の安定性について, 圧縮性粘性流体などのより複雑な問題に対して, 研究対象を拡大したい. 一方半空間における実補間空間に着いての函数について考察を進め, とりわけ流体問題に適用可能な時間端点最大正則性を示すことで, 圧縮性・非圧縮性粘性流体に対する自由境界問題ヘの応用を目指す. また同時に半空間における非線型分散型問題の時空分散評価について高次元への展開を目指し, 境界時空分散評価の確立を目指す. また, 局所ルベーグ可積分クラスにおける多様な非線型放物型問題の研究は, 非圧縮性粘性流体の運動方程式などの研究において知られるが, 対流拡散方程式に対しても同様の成果を得られたことから, Keller-Segel系や, 移流拡散方程式に対する適用, さらには圧縮性粘性流体の問題に対する拡張を目指す. 一方MHD方程式の研究に端を発し, Hall効果を持つ問題や, 磁気電気効果を持つ問題の数学的な設定を行い, さらにスケール臨界空間での可解性に必要な, 双線形評価や時間端点最大正則性, あるいは多重スケール普遍性に起因する非線型構造の分類などの研究を深めたい. コロナ感染症拡大期に行えなかった, 海外研究者らの招へい及び若手研究者らの海外短期派遣を通じ研究交流の活発化を目指す.
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Assessment Rating |
Interim Assessment Comments (Rating)
A: In light of the aim of introducing the research area into the research categories, the expected progress has been made in research.
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