Foundation of magnitude homology and applications

Research Project

Project/Area Number	19K21826
Research Category	Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
Allocation Type	Multi-year Fund
Review Section	Medium-sized Section 11:Algebra, geometry, and related fields
Research Institution	Hokkaido University
Principal Investigator	吉永正彦北海道大学, 理学研究院, 教授 (90467647)
Project Period (FY)	2019-06-28 – 2022-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2019)
Budget Amount *help	¥6,370,000 (Direct Cost: ¥4,900,000、Indirect Cost: ¥1,470,000) Fiscal Year 2021: ¥2,210,000 (Direct Cost: ¥1,700,000、Indirect Cost: ¥510,000) Fiscal Year 2020: ¥2,210,000 (Direct Cost: ¥1,700,000、Indirect Cost: ¥510,000) Fiscal Year 2019: ¥1,950,000 (Direct Cost: ¥1,500,000、Indirect Cost: ¥450,000)
Keywords	マグニチュード / マグニチュードホモロジー / 距離空間 / 順序集合 / 圏化
Outline of Research at the Start	距離空間のマグニチュードは「実質的な点の数」を数学的に定式化した概念で、数理生物学における種の多様性を測る概念として、実質的に同じものが定式化されているなど、応用上も重要な概念である。最近導入されたマグニチュードホモロジーは、マグニチュードの背後にある幾何学的・代数的な構造をとらえた画期的な概念である。本研究では、マグニチュードホモロジーの精密化である「相対マグニチュードホモロジー」を導入することで、マグニチュードの理論の基礎づけから応用を目指した研究を行う。
Outline of Annual Research Achievements	本研究は、マグニチュードホモロジーの基礎理論の整備と応用を目指すものである。2019年度は、6月に、国内でこの方面の研究を進めている五味清紀氏（信州大学）と浅尾泰彦氏（東京大学）を招いて合計3時間の講演をお願いし最近の研究の紹介をしていただいた。五味氏の講演は懸案だった円周のマグニチュードホモロジーの決定を含む成果、浅尾氏はCAT(0)空間などの概念を使った距離空間の幾何学的な観点からのマグニチュードホモロジーの研究に関する研究という重要な方向性の示唆を得た。7月にはEdinburgh大学で行われた研究集会 Magnitude 2019 へ招待講演者と出席した。本計画にある、相対マグニチュードホモロジーを weighting の圏化とみなすというプログラムを発表し、それについて Willerton 氏と議論を行った。このワークショップはマグニチュードを研究するほぼすべての数学者が集う会合で、多くの研究者と有益な情報交換が行えた。とりわけ、M. Meckes氏との会話に触発されて、本研究で中心に添えている、マグニチュード weighting を超函数として解釈するべきである、という新たな視点を得、帰国後にユークリッド空間の半空間（超平面で区切られた半分の空間）のマグニチュード weighting を記述することを目標として、計算を開始した。半空間のマグニチュード weighting をラプラシアンの形式的冪級数として解釈できるということが計算から示唆されているが、収束性に関する問題が大きいため、未だ分析しきれてはいない。 Bremen大学のB. Nolting氏とスカイプによる議論を行った。投稿中の論文 Magnitude homology of metric spaces and order complexes の査読レポートが送られてきたので、若干の修正後に雑誌へ再送した。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 3: Progress in research has been slightly delayed. Reason 当初の計画であった相対マグニチュードホモロジーを使った理論展開については、国際研究集会で口頭発表はしたものの、論文として発表するには至っていない。主な理由としては、論文として発表するほどのまとまった成果は今のところ得られていないことが挙げられる。相対マグニチュードホモロジーと weighting の関係が意味を持つのは、二点間の距離の下限がある程度大きい有限距離空間の場合のみであり、一般的な状況では「形式的な」関係しかもっていないこと根本的な原因であると考えている。このように特殊な状況でしか収束性を論じることができず、一般論としては形式的な関係にとどまっている点を克服するには本質的に新しいアイデアが必要と思われるが、現時点では解明できていない。今年度途中から始めたマグニチュード weighting の超函数としての表示に関しては、計算結果はいくらかあるものの、超函数や偏微分方程式に関する既存の結果や枠組みでの位置づけを探ることに時間を取られていることも進展を妨げている理由である。
Strategy for Future Research Activity	（相対）マグニチュードホモロジーがマグニチュード(weighting)の圏化とみなせるのは、多くの場合は形式的なレベルでの話であるというのが克服するべき大きな問題点であると考えている。そのために、引き続き、超函数や偏微分方程式の一般論がどこまで適用できるかを探る。また、普通の意味では発散する級数の収束を論じるBorel総和法など、発散級数の総和法のアイデアを使って、マグニチュードに関する様々な「収束性」の問題を克服する方向で研究を進める。研究協力者の平岡裕章氏（京都大学）の周辺には、マグニチュードホモロジーに興味を持つ研究者が何人かおり、平岡氏のグループとの協力を密にとる予定である。具体的には、Web会議システムを使った議論により、最新情報の共有と研究の推進の機会としたい。他にも、応用を視野に入れ、都市工学の専門家とのミーティングを計画している。