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Foundation of magnitude homology and applications

Research Project

Project/Area Number 19K21826
Research Category

Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)

Allocation TypeMulti-year Fund
Review Section Medium-sized Section 11:Algebra, geometry, and related fields
Research InstitutionOsaka University (2022)
Hokkaido University (2019-2021)

Principal Investigator

Yoshinaga Masahiko  大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (90467647)

Project Period (FY) 2019-06-28 – 2023-03-31
Project Status Completed (Fiscal Year 2022)
Budget Amount *help
¥6,370,000 (Direct Cost: ¥4,900,000、Indirect Cost: ¥1,470,000)
Fiscal Year 2021: ¥2,210,000 (Direct Cost: ¥1,700,000、Indirect Cost: ¥510,000)
Fiscal Year 2020: ¥2,210,000 (Direct Cost: ¥1,700,000、Indirect Cost: ¥510,000)
Fiscal Year 2019: ¥1,950,000 (Direct Cost: ¥1,500,000、Indirect Cost: ¥450,000)
Keywordsマグニチュードホモロジー / 距離空間 / マグニチュード / ポセット / グラフ / 順序集合 / 圏化
Outline of Research at the Start

距離空間のマグニチュードは「実質的な点の数」を数学的に定式化した概念で、数理生物学における種の多様性を測る概念として、実質的に同じものが定式化されているなど、応用上も重要な概念である。最近導入されたマグニチュードホモロジーは、マグニチュードの背後にある幾何学的・代数的な構造をとらえた画期的な概念である。本研究では、マグニチュードホモロジーの精密化である「相対マグニチュードホモロジー」を導入することで、マグニチュードの理論の基礎づけから応用を目指した研究を行う。

Outline of Final Research Achievements

In this project, we find a new interpretation of the magnitude homology. Namely,
consider the space-time of the metric space and partial order defined by the causal relations. We define the magnitude homotopy type to be the order complex of an interval of the causal poset divided by a certain subcomplex. Then the reduced homology group of this space is isomorphic to the magnitude homology group of the original metric space.
In case the metric space is a graph, the magtnitude homotopy type is homotopy equivalent to the double suspension of the space introduced by Asao and Izumihara. Magnitude homotopy type also can be considered as the "paths space" for metric spaces. Applying discrete Morse theory to the magnitude homotopy type, we obtained several results including new proofs of Mayer-Vietoris type theorem, Kunneth type formula, and the invariance of the magnitude under sycamore twists.

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

本研究は、距離空間の時空の因果関係から定まる順序集合の順序複体、という新しい観点から「マグニチュードホモトピー型」を導入し、その空間に離散モース理論を適用することでマグニチュードホモロジーの基本的な性質を調べた。マグニチュードホモトピー型は、距離空間版の「経路空間」とみなすことができ、マグニチュードは「距離空間の経路空間上のオイラー標数積分」と解釈できる。
マグニチュードは距離空間の大まかなサイズを測る不変量で、ビッグデータを扱う際にも有用な概念であることが期待されている。本研究はマグニチュードを統制する幾何学的構造の研究であると位置づけられる。

Report

(5 results)
  • 2022 Annual Research Report   Final Research Report ( PDF )
  • 2021 Research-status Report
  • 2020 Research-status Report
  • 2019 Research-status Report
  • Research Products

    (10 results)

All 2023 2022 2021 2020 2019 Other

All Int'l Joint Research (1 results) Journal Article (4 results) (of which Peer Reviewed: 4 results) Presentation (5 results) (of which Int'l Joint Research: 2 results,  Invited: 3 results)

  • [Int'l Joint Research] Bremen University(ドイツ)

    • Related Report
      2019 Research-status Report
  • [Journal Article] Magnitude homology of graphs and discrete Morse theory on Asao?Izumihara complexes2023

    • Author(s)
      Tajima Yu、Yoshinaga Masahiko
    • Journal Title

      Homology, Homotopy and Applications

      Volume: 25 Issue: 1 Pages: 331-343

    • DOI

      10.4310/hha.2023.v25.n1.a17

    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] What is -Q for a poset Q?2022

    • Author(s)
      Yoshida Taiga、Yoshinaga Masahiko
    • Journal Title

      Order

      Volume: - Issue: 1 Pages: 149-155

    • DOI

      10.1007/s11083-022-09600-y

    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Feynman graphs and hyperplane arrangements defined over F12021

    • Author(s)
      Higashida Kyosuke、Yoshinaga Masahiko
    • Journal Title

      Journal of Geometry and Physics

      Volume: 170 Pages: 104368-104368

    • DOI

      10.1016/j.geomphys.2021.104368

    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Magnitude homology of metric spaces and order complexes2021

    • Author(s)
      Kaneta Ryuki、Yoshinaga Masahiko
    • Journal Title

      Bulletin of the London Mathematical Society

      Volume: - Issue: 3 Pages: 893-905

    • DOI

      10.1112/blms.12469

    • Related Report
      2020 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Presentation] グラフのマグニチュードホモトピー型と Mayer-Vietoris 型定理2023

    • Author(s)
      田嶌優, 吉永正彦
    • Organizer
      日本数学会2023年度年会
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
  • [Presentation] 数え上げ, マグニチュード, トポロジー2023

    • Author(s)
      吉永正彦
    • Organizer
      大阪大学談話会.
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] グラフのマグニチュードホモロジーと Asao-Izumihara 複体における離 散モース理論2022

    • Author(s)
      田嶌優, 吉永正彦
    • Organizer
      日本数学会2022年度年会
    • Related Report
      2021 Research-status Report
  • [Presentation] A geometric realization of combinatorial reciprocity of order polynomials2020

    • Author(s)
      Masahiko Yoshianga
    • Organizer
      OBERSEMINAR ARRANGEMENTS AND SYMMETRIES, Bochum (Germany)
    • Related Report
      2020 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] A threshold of length in magnitude homology2019

    • Author(s)
      吉永正彦
    • Organizer
      Magnitude 2019: Analysis, Category Theory, Applications
    • Related Report
      2019 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited

URL: 

Published: 2019-07-04   Modified: 2024-01-30  

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