実解析と数値計算の手法による流体運動の振る舞いの解明及び数学理論の構築

Research Project

Project/Area Number	19K23398
Research Category	Grant-in-Aid for Research Activity Start-up
Allocation Type	Multi-year Fund
Review Section	0201:Algebra, geometry, analysis, applied mathematics,and related fields
Research Institution	Kanagawa University (2020) The University of Tokyo (2019)
Principal Investigator	許本源神奈川大学, 工学部, 助教 (40844816)
Project Period (FY)	2019-08-30 – 2022-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2020)
Budget Amount *help	¥1,950,000 (Direct Cost: ¥1,500,000、Indirect Cost: ¥450,000) Fiscal Year 2020: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000) Fiscal Year 2019: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Keywords	非圧縮性粘性流体 / Navier-Stokes方程式 / 竜巻型旋回流 / 渦 / 幾何的正則性 / 圧力評価 / Navier-Stokes 方程式 / 流体力学 / 解の漸近挙動
Outline of Research at the Start	非圧縮性粘性流体の運動を記述するNavier-Stokes方程式に関わるミレニアム７問題の一つ「時間大域的可解性」はほかの問題と比べて純粋数学のみならず、計算科学及び物理現象とも密接に関係している。その中に解の正則性の解析、局所的な構造のシミュレーション及び具体的な現象に対する実験など様々な途中成果が上げられた。本研究の目的は途中成果を踏まえて、実際に起きている現象への応用を意識しつつ科学計算で流体運動の振る舞いを考察すること及び数学理論の構築である。具体的に「幾何的正則性判定法」など解の正則性及び関連問題の数学解析を行い、その結果を基に数値計算を展開し、成果を上げる。
Outline of Annual Research Achievements	非圧縮性粘性流体運動を記述するNavier-Stokes方程式に関わる重要問題の一つ「時間大域的可解性」はほかの問題と比べ純粋数学のみならず、計算科学及び物理現象とも密接に関係しています。本研究はNavier-Stokes方程式の解の正則性理論解析及び実験の結果をもとに、局所的構造のシミュレーションを行いました。本研究の目的は実際に起きている現象への応用を意識しつつ科学計算で流体運動の解の挙動（特に渦の振る舞い）を考察すること及び数学理論の構築であります。主に「幾何的正則性判定法」など解の正則性及び関連問題の数学解析を行い、その結果を基に数値計算を展開し、手法を構築し成果を上げます。もっと詳しく述べると、Fefferman氏が３次元全空間で「渦度の方向が空間変数に対して、一様に連続であれば、たとえ渦度が大きくても爆発しない」という幾何的正則性判定法と言われる判定法を提唱しました。その幾何的正則性判定法の数学理論を基に、竜巻型旋回流（旋回を伴う双曲型流れ）を有限要素法で様々な振る舞いを考察しました。竜巻型旋回流については非軸対称な初期速度、非軸対称領域などより実現象を反映させる設定の下でシミュレーションをし、旋回によって形成された低圧力領域に着目して、軸対称の場合には起こらない現象を観察できました。地形がどのように旋回の流れに影響を与えているかという問題の解明に、物理及び工学の分野からの手法と異なるアプローチができました。さらに、初期速度及び領域、境界の形状それぞれがどのように速度及び渦に影響を与えているかについても考察しました。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 3: Progress in research has been slightly delayed. Reason 申請時に提案したプロジェクトの中、「竜巻型旋回流の局所的な構造の考察」において軸対称と非軸対称両方進展がありました。しかしながら解の正則性については「有界領域で幾何的正則性判定法」を構築できたにもかかわらず、ほかの一般領域についてはまだ成果がありません。一方、竜巻型旋回流については軸対称の場合により合理的な初期速度の考案及び初期速度による影響と安定性などについての考察をして初稿を作成しました。
Strategy for Future Research Activity	本研究は数学解析及び数値計算を統合的に協働し真の力を発揮することで竜巻型流を考察することが目的であります。そのため、シミュレーションは実現象に合わせ、合理性を考慮し、数学解析ができるような初期速度を導入することがこれからとても重要な課題となります。今年度は先行文献より合理的な初期速度についての考察を行い、これから検証しながら導入する予定です。数学解析の方について、研究代表者らの先行結果においても、「幾何的正則性判定法」の局所化した新しい文献においても、圧力評価の導出が証明のカギになっています。一方、竜巻型旋回流の考察において、低圧力領域の形成、圧力領域の変化など圧力の構造が重要な役割を担っています。これから圧力の構造に対する考察、旋回の強さ及び渦に対する考察は新しい知見へ導くと思っております。