Development of a new method for data science via the fusion of dynamical systems and computational topology

• Project/Area Number: 19KK0068
• Research Category: Fund for the Promotion of Joint International Research (Fostering Joint International Research (B))
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: Medium-sized Section 12:Analysis, applied mathematics, and related fields
• Research Institution: Chubu University
• Principal Investigator: 荒井 迅 中部大学, 創発学術院, 教授 (80362432)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 平岡 裕章 京都大学, 高等研究院, 教授 (10432709) ; 大林 一平 国立研究開発法人理化学研究所, 革新知能統合研究センター, 研究員 (30583455) ; 竹内 博志 滋賀大学, データサイエンス教育研究センター, 助教 (40851457)
• Project Period (FY): 2019-10-07 – 2025-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2020)
• Budget Amount: ¥18,330,000 (Direct Cost: ¥14,100,000、Indirect Cost: ¥4,230,000); Fiscal Year 2024: ¥3,510,000 (Direct Cost: ¥2,700,000、Indirect Cost: ¥810,000); Fiscal Year 2023: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000); Fiscal Year 2022: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000); Fiscal Year 2021: ¥3,120,000 (Direct Cost: ¥2,400,000、Indirect Cost: ¥720,000); Fiscal Year 2020: ¥3,120,000 (Direct Cost: ¥2,400,000、Indirect Cost: ¥720,000); Fiscal Year 2019: ¥1,820,000 (Direct Cost: ¥1,400,000、Indirect Cost: ¥420,000)
• Keywords: 位相的データ解析 / 計算トポロジー / 力学系

Outline of Research at the Start

本研究では，力学系と計算トポロジーを融合させることで，双方の分野の困難を突破する新しい手法を提案する事を目指す．まず，力学系で開発された Connection Matrix の理論とパーシステントホモロジー理論を融合させることで，時系列に適用可能な位相的データ解析法を構築する．また逆に，計算トポロジーの理論に基き，位相的な構造の変化に着目した，応用可能性の高い新しい力学系の安定性概念を定義することを目指す．
これらの目的を達成するため，力学系の研究と位相的データ解析の双方で指導的な役割を果たしてきた，米国ラトガース大学のミシャイコフ教授のグループとの連携を進める．

Outline of Annual Research Achievements

本研究は，力学系と計算トポロジーを融合することにより，新しいデータ解析の手法を開発すること，また開発した手法を用いて様々な分野の具体的な応用問題に貢献することを目指す．さらに，具体的な問題への応用という観点から力学系の安定性理論を見直し，新しい力学系の安定性概念を提案することも目的とする．主な道具は，力学系理論からはコンレイ指数理論や分岐理論，一様双曲性証明アルゴリズムであり，計算トポロジー理論からはパーシステントホモロジー理論やその逆問題解析法などである．この目的のため，力学系の研究と位相的データ解析の双方の分野において世界的に指導的な役割を果たしてきた，米国ラトガース大学のミシャイコフ教授のグループと連携を進める．アルゴリズムの実装から具体的な応用まで幅広く相互に技術を交換し，データ解析の新しい枠組みを展開することを目指す．新型コロナ感染拡大のため，本年度はラトガース大学との直接の人的交流は出来なかったものの，オンライン会議も活用し，前回渡航時に検討した問題の解析を進めた．特に，より動的なデータ解析を目指す上で重要な，サンプル写像に対するパーシステントホモロジー理論の基礎づけを quiver 表現という代数的な道具を用いて与えることができた．応用面では，このような位相幾何学的な手法と，統計的因果推論や，大域的な力学系解析手法などを組み合わせた手法について解析を進め，様々な実データに対してその有効性に関する予備的な検証を進めた．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

サンプル写像に対するパーシステントホモロジー理論の基礎づけに関して進展が得られたこと，実データへの応用可能性についての検討が進んでいることなどから，全体ではおおむね順調に進展していると判断した.

Strategy for Future Research Activity

コロナウイルスの影響により，予定していた日米間の相互訪問計画には若干の遅れが見込まれるが，オンラインミーティングなどを活用して研究交流は予定通り進めていく．今後は，サンプル写像のパーシステントホモロジー理論を基礎にコンレイ指数理論を構築するなど，より動的なデータ解析に有用な枠組みを構築し，さらにそのアルゴリズム基化を進めていく予定である．

Research Products

• [Journal Article] The persistent homology of a sampled map: from a viewpoint of quiver representations (2021)
  • Author(s): Takeuchi Hiroshi
  • Journal Title: Journal of Applied and Computational Topology Volume: 2021 Pages: 1--35
  • DOI: 10.1007/s41468-021-00065-3
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] Percolation on Homology Generators in Codimension One (2020)
  • Author(s): Hiraoka Yasuaki, Mikami Tatsuya
  • Journal Title: Advanced Studies in Pure Mathematics Volume: 84 Pages: 307--342
  • DOI: 10.1007/978-3-030-43408-3_12
• [Journal Article] Zeta functions of periodic cubical lattices and cyclotomic-like polynomials (2020)
  • Author(s): Y. Hiraoka, H. Ochiai, T. Shirai
  • Journal Title: Advanced Studies in Pure Mathematics Volume: 84 Pages: 93--121
  • Peer Reviewed
• [Presentation] The persistent homology of a sampled map: on failed reconstructions (2021)
  • Author(s): Hiroshi Takeuchi
  • Organizer: Asia Pacific Seminar on Applied Topology and Geometry
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Characterizing rare events in persistent homology (2021)
  • Author(s): Yasuaki Hiraoka
  • Organizer: Joint Mathematics Meetings, AMS Special Session on Applied Topology
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Characterizing rare events in persistent homology (2020)
  • Author(s): Yasuaki Hiraoka
  • Organizer: Topological Data Analysis and Beyond
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Period doubling bifurcations from complex and algebraic point of view (2019)
  • Author(s): Zin Arai
  • Organizer: Applied and Computational Math Seminar
• [Presentation] Application of persistent homology to granular materials and sampled dynamical systems (2019)
  • Author(s): Hiroshi Takeuchi
  • Organizer: Applied and Computational Math Seminar
• [Remarks] Web pape of Zin Arai
  • URL: http://www.isc.chubu.ac.jp/zin_arai/