| Project/Area Number |
20K03537
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
横山 俊一 東京都立大学, 理学研究科, 准教授 (90741413)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2021: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
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| Keywords | 計算機数論 / 代数的保型形式 / 楕円曲線 / Julia / 保型形式 / 耐量子計算機暗号 / Julia 言語 / 高速実装 / Julia言語 / データベース |
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| Outline of Research at the Start |
Julia 言語を用いた新しい数式処理システム Nemo の開発を通して，以下の課題を解決することを目指す．
1) AbstractAlgebra.jl の開発を通して，拡大体（とくに局所体）の高速計算アルゴリズムを提案し，高次拡大体の計算や高速同型判定を可能にする．
2) Hecke.jl の開発を通して，数論幾何的対象（楕円曲線やモジュラー形式）の計算パッケージを実装し，代数体上の楕円曲線の効率的探索を実現する．
また，以上の実装を用いて大規模探索を行い，数論データベース LMFDB の拡張プロジェクトへの貢献を目指す．
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は大きく分けて2種類の成果を得た：
【1.代数的保型形式における計算機数論的アプローチを用いた高速化】
代数的保型形式の合同関係における高速な基底計算の手法として、更なる高速化として表現論的アプローチ（調和多項式を用いた組合せ論的手法）を利用した研究を進めた。とくに判別式2の四元数環上の場合においてこれを実現し、この効率化を図った（若槻聡氏および落合啓之氏との共同研究）。またこの拡張として、一般判別式をもつ四元数環上の場合でも高速に基底を計算するための手法を探索する準備段階の研究に着手した。この解決のためには、代数的保型形式の理論を純計算代数的な手法へと帰着させるための新しいアルゴリズムと、整基底を高速に計算するための改良法が必須であり、これらの定式化・整備に取り組んだ。
【2.代数体上至る所良い還元をもつ楕円曲線の探索の効率化】
4次代数体の部分体として現れる2次体上で至る所良い還元をもつ楕円曲線で、これまでの探索法では得られなかった曲線を効率的に構成した（生川青輝氏との共同研究）。とくに CM 体上至る所良い還元をもつ楕円曲線の存在・非存在定理に関する精密化を示すためのエビデンスとなるデータを大量に得た。なお本研究では高水準言語 Julia を用いた生成元探索アルゴリズムをプロトタイプ環境として採用した。
また追記事項として、映像数学（Math for CG）に関連した Julia 言語を用いた研究の準備段階に入った。2025年度まで延長を行ったのはこれが主な理由である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度も、Julia 言語をはじめとして複数の計算機代数システムを用いて、多角的な研究を遂行できている。とくに本年は、本研究課題にも明示した Julia 言語に関する最先端の研究知見を共有する場（2023年7月に実施した研究集会）によって得られたコミュニティを継続的に維持し、最新の開発状況に関する情報を引き続き収集すると共に、計算機代数・計算機数論における Julia の活用方法に関して幅広い専門分野の研究者と研究討議を行うことができた。
また、これまでの研究領域に留まらず、Julia 言語を用いた萌芽的な研究を開始し、2025年度より開始した研究課題「高水準な計算代数システムを用いた超高速実装による計算機数論の新展開」（日本学術振興会 基盤研究（C）25K06955）との相互啓発的な研究の基盤構築の機会を得た。このため、1年延長したことは適切であり、大きな遅延が起きているとは判断していない。
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| Strategy for Future Research Activity |
最終年度（延長申請した2025年度）は、これまで得られた Julia 言語による数式処理開発のノウハウや高速化手法をもとに、映像数学（感性工学）に関連した内部処理の高速化・効率化について、萌芽的な研究に着手する。これは映像制作やデザイン科学における制作パイプラインにおいてボトルネックとなる点であり、その精密な計算のためには計算機代数的手法を用いることで、計算誤差を伴わないシミュレーションが可能となる。しかしながら、計算量・負荷は通常の手法に比べて極めて高く、この処理をシームレスに高速化するために Julia が援用できないかを検討する。また、計算量軽減のため、計算機代数における symbolic-analytic なハイブリッド法の援用も検討したい。
これと並行して、これまでの5年間の研究によって得られた成果を、数論統合データベース LMFDB へ提供し、研究成果の幅広い活用を最終目標として取り組む。
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