Cohomology of Coxeter groups, Artin groups, and Coxeter quandles
| Project/Area Number |
20K03600
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
秋田 利之 北海道大学, 理学研究院, 教授 (30279252)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
吉永 正彦 大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (90467647)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥4,420,000 (Direct Cost: ¥3,400,000、Indirect Cost: ¥1,020,000)
Fiscal Year 2023: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
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| Keywords | クロス加群 / 中心拡大 / ブレイド群 / カンドル / ホモロジー / Schur被覆 / Artin群 / Coxeter群 / Coxeterカンドル / 群のコホモロジー / ホモロジー安定性 / コホモロジー / 分類空間 |
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| Outline of Research at the Start |
本研究ではCoxeter群、Artin群、及びCoxeterカンドルの随伴群という相互に密接に関連している3種類の群の(コ)ホモロジーを研究すること、3つの群の(コ)ホモロジーの間の関係を解明すること、Coxeterカンドルのカンドル・コホモロジーとの関係を探ること、本研究の手法をより広い群の族に対して適用できるように一般化することを目的とし、5つのサブテーマを軸に研究を展開し研究目的を達成を目指す。
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1) Huebschmann（2012）はブレイド群の「普遍中心拡大」がブレイド群上の一つの元で生成される自由クロス加群であることを示していた。Huebschmannの結果を受けて、代表者は代表者の修士学生であった川崎理佳子氏（現在は東京理科大学博士課程在籍）との共同研究においてブレイド群の「普遍中心拡大（Schur被覆）」の有限表示を求めていた（2022）。今年度はその結果を佐藤隆夫氏（東京理科大学）の結果と合わせて秋田・川崎・佐藤の３名を著者とする共著論文にまとめ査読付き学術雑誌に投稿した。
(2) 与えられたカンドルが群（正確には群の共役カンドル）に埋め込めるかどうかはカンドルの理論における基本的な問題の一つである。代表者は任意のねじれ共役カンドル（twisted conjugation quandle）が群に埋め込めることを証明した。特にその系としてAlexanderカンドルは群に埋め込めることが従う。この結果は既に論文にまとめ学術雑誌Journal of Knot Theory and Its Ramificationsにおいて出版済みである。
(3) n次対称群の互換全体の集合は共役によりカンドルとなり互換カンドルと呼ばれ、その2次のカンドルホモロジー群はEisermann (2014)により決定されている。Coxeterカンドルは互換カンドルの自然な一般化であり、研究代表者は長谷川蒼氏（研究代表者の博士学生）との共同研究で既約な有限Coxeterカンドルの2次のカンドルホモロジー群を研究中である。2023年中に2次のホモロジー群を決定できる見込みである。
(4) カンドルの随伴群の構造に関する論文（丹野信義氏、長谷川蒼氏との共著論文）が学術雑誌Kodai Mathematical Journalに掲載された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究は（1）K(π,1)予想、（2）ホモロジー安定性、（3）Coxeter群、Artin群、Coxeterカンドルの随伴群の（コ）ホモロジーの関係、（4）Coxeterカンドルのコホモロジー、（5）放物的部分群構造を持つ群への一般化の5つのテーマからなる。
概要欄（1）で述べたブレイド群の普遍中心拡大に関する研究は（i）ブレイド群はArtin群のもっとも重要な例であること（ii）クロス加群から（添加）カンドルが得られるという意味でクロス加群はカンドルの特別なものであると考えられることから本研究の研究テーマと深く関わっている。
また概要欄（3）で述べたCoxeterカンドルのホモロジーの研究は、研究テーマ（4）そのものであり、研究テーマ（3）と（4）の進展に大きく寄与するものである。これらの研究結果から本研究はおおむね順調に進展していると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
（1）2022年度の研究の中で、カンドルの随伴群がWirtinger（表示を持つ）群（C-groupまたはLOG groupとも呼ばれる）というより広い群のクラスに属していることに気づいた。今年度はWirtinger群の立場からカンドルの随伴群を研究したい。与えられた群が既約なWirtinger群であるための必要十分条件は知られているが、この必要十分条件をカンドルの理論を用いて精密化できると研究代表者は予想している。この予想の証明を今後の課題の一つとする。
（2）概要で触れたHuebschmann（2012）の結果についてHuebschmann自身は「ブレイド群に特有なもので一般化できないだろう」と述べているが、代表者は何らかの形で既約なWirtinger群に一般化できると予想している。この予想の定式化と証明も今後の課題である。
（3）近年発展しているを離散ホモトピー論を本研究に応用できないか検討中である。
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Report
(3 results)
Research Products
(7 results)
