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Lachlan予想の研究

Research Project

Project/Area Number 20K03725
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

Allocation TypeMulti-year Fund
Section一般
Review Section Basic Section 12030:Basic mathematics-related
Research InstitutionHosei University

Principal Investigator

池田 宏一郎  法政大学, 経営学部, 教授 (60332029)

Project Period (FY) 2020-04-01 – 2025-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help
¥2,470,000 (Direct Cost: ¥1,900,000、Indirect Cost: ¥570,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2021: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2020: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Keywordsモデル理論 / 安定性理論 / ジェネリック構造 / Lachlan予想
Outline of Research at the Start

ジェネリック構成法とは,1980年代後半にHrushovskiにより開発された,有限構造から無限構造を作る方法であり,モデル理論における重要な構成法のひとつである.この構成法が開発された当初,多くのモデル理論研究者が,ジェネリック構成法を用いてLachlan 予想の反例を作ろうとしたが,その試みは誰も成功していない.本研究では,従来のジェネリック構成法の可能性と限界を見極め,新たな構成法を構築することを目的とする.そして,新たに得られた構成法を用いて,Lachlan 予想に反例を与えることを最終目標とする..

Outline of Annual Research Achievements

本研究の目的は,モデル理論の未解決予想であるLachlan予想の解決に近づくことにある.研究代表者は,解決に近づくための道具として,ジェネリック構成法と呼ばれる手法が重要であると考える.ジェネリック構成法とは,有限構造を貼り合わせて無限構造を作る方法であり,Hrushovskiはこの方法を用いて,真に安定な可算範疇的構造を作った.研究代表者は,Hrushovskiの方法は簡略化できると考え,その結果を,2023年12月に京都大学数理解析研究所で開催されたRIMS共同研究「モデル理論における独立概念と次元の研究」において発表した.発表内容は論文としてまとめられ,RIMS講究録に掲載予定である.
その後,この方向の研究はさらに進み,有限構造の集合で生成されるクラス,という考え方に発展した.ジェネリック構造は有限構造のクラスKを貼り合わせて作るが,さらにそのKが生成集合をもつ場合を考える.このアイデアにより,Hrushovskiの構成法を単に簡略化するだけでなく,あらたな無限構造を構成できる可能性がでてきた.この結果は,2024年3月に大阪公立大学で開催された日本数学会年会で発表された.一方,有限構造の様々な性質を調べる分野として有限モデル理論がある.この分野の話題で特に0-1法則はジェネリック構成法と深く関係している.そこで,有限変数無限論理の0-1法則について調べ,得られた結果を2024年3月に高知工科大学で開催されたModel Theory Workshop 2024で発表した.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

本研究の目的は,ジェネリック構成法を用いて,Lachlan予想の解決に近づくことであるが,コロナ禍の影響があり,研究集会における研究打合せなどが予定通り行うことができなかった.よって,2023年度に予定していた,新たな構成法の有効性とその検証,を行うことができなかった.実際,昨年度は,予定していた海外研究集会の参加は一度もできず,国内研究集会に参加できたのは2023年12月からであった.オンラインを用いた研究打合せも数回試みたが,思うような成果を出すことができなかった.

Strategy for Future Research Activity

コロナ禍の影響により本研究の期間延長は2度の及んだが,オンラインで研究集会に参加することにより,研究は少しずつであるが進んでいる.実際,有限構造の集合から生成されるクラスKからジェネリック構造を作る,というアイデアは,Lachlan予想の解決につながるのではと考える.その目標に近づくには,国内外のモデル理論研究者の客観的視点が必要となる.よって今年度は国内外の研究集会に対面で積極的に参加し,研究打合せを行い,この分野の研究者の意見を多く取り入れたい.そしてそのための研究環境(PC,タブレット,書籍,など)を整えたい.

Report

(4 results)
  • 2023 Research-status Report
  • 2022 Research-status Report
  • 2021 Research-status Report
  • 2020 Research-status Report
  • Research Products

    (22 results)

All 2024 2023 2022 2021 2020

All Journal Article (5 results) (of which Open Access: 2 results) Presentation (17 results) (of which Int'l Joint Research: 2 results,  Invited: 1 results)

  • [Journal Article] Hrushovskiの強極小構造2022

    • Author(s)
      池田宏一郎
    • Journal Title

      京都大学数理解析研究所講究録

      Volume: 2233 Pages: 55-64

    • Related Report
      2022 Research-status Report
  • [Journal Article] A note on generic structures and the finite set property2022

    • Author(s)
      Koichiro Ikeda
    • Journal Title

      京都大学数理解析研究所講究録

      Volume: 2218 Pages: 53-58

    • Related Report
      2022 Research-status Report
  • [Journal Article] A note on generic structures and the fnite set property2022

    • Author(s)
      Koichiro Ikeda
    • Journal Title

      RIMS Kokyuroku

      Volume: 2218

    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Open Access
  • [Journal Article] Groups in generic structures2022

    • Author(s)
      Koichiro Ikeda
    • Journal Title

      RIMS kokyuroku

      Volume: -

    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Open Access
  • [Journal Article] A note on holographic structures2020

    • Author(s)
      Koichiro Ikeda
    • Journal Title

      Rims kokyuroku

      Volume: 2170 Pages: 6-10

    • NAID

      120006956455

    • Related Report
      2020 Research-status Report
  • [Presentation] A note on omega-categorical stable theories2024

    • Author(s)
      池田宏一郎
    • Organizer
      日本数学会年会
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      2023 Research-status Report
  • [Presentation] Finite model theory2024

    • Author(s)
      池田宏一郎
    • Organizer
      Model Theory Workshop 2024 Spring
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      2023 Research-status Report
  • [Presentation] A note on omega-categorical stable theories2023

    • Author(s)
      Koichiro Ikeda
    • Organizer
      RIMS Symposia (open), Model theoretic aspects of the notion of independence and dimension
    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] Hrushovskiの構成法2022

    • Author(s)
      池田宏一郎
    • Organizer
      RIMS共同研究「数理論理学とその応用」
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      2022 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] On omega-categorical generic structures2022

    • Author(s)
      池田宏一郎
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  • [Presentation] 0-1法則とモデル理論2022

    • Author(s)
      池田宏一郎
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      数学基礎論サマースクール
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    • Author(s)
      池田宏一郎
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      池田宏一郎
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      池田宏一郎
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      日本数学会年会
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      池田宏一郎
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      Tokyo Model Theory seminar
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      池田宏一郎
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      Tokyo Model Theory seminar
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      Koichiro Ikeda
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    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] ジェネリック構造の中の群2021

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    • Author(s)
      池田宏一郎
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      日本数学会秋季総合分科会
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  • [Presentation] Holographic構造について2021

    • Author(s)
      池田 宏一郎
    • Organizer
      日本数学会例会
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  • [Presentation] Groups in generic structures2020

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      Koichiro Ikeda
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      RIMS共同研究(公開型)「モデル理論における独立概念と次元の研究」
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  • [Presentation] Groups in generic structures2020

    • Author(s)
      池田 宏一郎
    • Organizer
      モデル理論夏の学校
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Published: 2020-04-28   Modified: 2024-12-25  

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