Representations and Combinatorial Games related to d-Complete Posets

• Project/Area Number: 20K14277
• Research Category: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: Basic Section 11010:Algebra-related
• Research Institution: University of Yamanashi (2023-2024); Tohoku University (2020-2022)
• Principal Investigator: 入江 佑樹 山梨大学, 大学院総合研究部, 助教 (10834020)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2025-03-31
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2024)
• Budget Amount: ¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000); Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000); Fiscal Year 2022: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000); Fiscal Year 2021: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000); Fiscal Year 2020: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
• Keywords: 組合せゲーム / 表現 / デザイン / 次数付き環 / 組合せゲーム理論 / 組合せ論的表現論 / d完全ポセット / マヤゲーム / Sprague-Grundy関数

Outline of Research at the Start

表現論と組合せゲーム理論のつながりを解明し、双方の分野に新たな研究の方向性をあたえることを目指す。
表現論は、数学自体に大きな影響をあたえてきただけでなく、物理学などの他分野へ橋を渡してきた。一方の組合せゲーム理論は離散数学の一分野であり、チェスや将棋といった一般的に遊ばれているゲームも研究対象に含む。1970年代に佐藤幹夫によって「表現と組合せゲームは内部的につながっている」という大胆な予想がされ、近年、研究代表者による研究から実際に深いつながりがあることが分かってきた。本研究では、表現とゲームのつながりを解明し、両分野に新たな研究の方向性をあたえることを目指す。

Outline of Annual Research Achievements

表現論と組合せゲーム理論の新たな展開を目指し、マヤゲームと対称群の表現周辺の研究を進めた。研究当初は思いもよらなかったゲーム、ブロックデザイン、次数付き環の間の関係が明らかになったため、こちらの研究も並行して進めた。研究成果を二点に分けて述べる。
(1) Sprague-Grundyの定理のｐ進法における類似物を発見し、マヤゲームと一般化対称群の表現の関係を明らかにした。組合せゲーム理論では２進法が重要な役割を果たすことが知られている。特に組合せゲーム理論における最も基本的な定理の一つである、Sprague-Grundyの定理により、ゲームの分離和は２進法を使って解析できる。その一方でｐ進法に関する結果は、これまでほとんど知られていなかった。ここで本研究課題の出発点となった、マヤゲームと対称群の表現の関係を発見したきっかけは、ｐ進法版のゲームを構成する手法であるｐ飽和というものを導入したことにある。ｐ飽和の研究を進める過程で、上述のSprague-Grundyの定理のｐ進法における類似物を得た。さらにこの結果を用いることで、マヤゲームと一般化対称群の表現の関係が明らかになった。
(2) ブロックデザインからゲームを用いて、次数付き環を構成し、あるデザインの族について、環を用いた特徴付けをあたえた。上述のｐ飽和の発見で鍵となったのは反転ニムというゲームの研究である。この反転ニム周辺について見直す過程で、ゲーム、ブロックデザイン、次数付き環の間には密接なつながりがあることを見出した。具体的には、ブロックデザインから構成したゲームによって、あるデザインの族を特徴づけることができた。さらに、この特徴付けは次数付き環の言葉でも記述できることが判明した。この研究と関係して、福室康介氏との共同研究において space monomial curve の安定 Harbourne 予想を解決した。

Research Products

• [Journal Article] On the stable Harbourne conjecture for ideals defining space monomial curves (2023)
  • Author(s): Kosuke Fukumuro, Yuki Irie
  • Journal Title: Proceedings of the American Mathematical Society Volume: 151 Pages: 1445-1458
  • DOI: 10.1090/proc/16258
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] Combinatorial Game Distributions of Steiner Systems (2021)
  • Author(s): Yuki Irie
  • Journal Title: The Electronic Journal of Combinatorics Volume: 28 Pages: －
  • DOI: 10.37236/9252
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] A base-p Sprague-Grundy type theorem for p-calm subtraction games: Welter's game and representations of generalized symmetric groups (2021)
  • Author(s): Yuki Irie
  • Journal Title: Integers Volume: 21B Pages: －
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] The Sprague-Grundy Functions of Saturations of Misere Nim (2021)
  • Author(s): Yuki Irie
  • Journal Title: The Electronic Journal of Combinatorics Volume: 28 Pages: －
  • DOI: 10.37236/8916
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Presentation] On combinatorial games and algebraic structures (2023)
  • Author(s): 入江佑樹
  • Organizer: 日本数学会東北支部会
  • Invited
• [Presentation] ゲーム、デザイン、可換環: 射影的 Steiner triple system の特徴付け (2022)
  • Author(s): 入江佑樹
  • Organizer: 第16回組合せゲーム・パズル研究集会
• [Presentation] A base-p Sprague-Grundy type theorem: Maya game and representations of generalized symmetric groups (2021)
  • Author(s): 入江佑樹
  • Organizer: 第37回代数的組合せ論シンポジウム
• [Presentation] デザインと組合せゲーム (2021)
  • Author(s): 入江佑樹
  • Organizer: 代数学とその応用