| Budget Amount *help |
¥3,640,000 (Direct Cost: ¥2,800,000、Indirect Cost: ¥840,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
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| Outline of Research at the Start |
代数の表現論の共通の目標は「代数の加群圏または導来圏の構造を理解すること」である. 係数環が体である整環(=有限次元代数)の場合は有限生成加群圏を理解することが目標であり, 係数環が完備離散付値環であるときは, 加群圏の充満部分圏である格子圏を考察する. 特に直既約加群の分類は基本的な問題であり, 現代の用語では AR 箙とよばれる有向グラフを与えることになる.
そこで, 本研究では係数環が完備離散付値環の対称整環の AR 箙の構造論を与えることを目標とする.
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度では, 完備離散付値環上の対称的整環のHeller格子を終域にもつAR列に剰余体をテンソルをとり係数拡大することで, 係数拡大された有限次元対称代数上のAR列を復元する, という状況を詳細に精査した. 結論としてはある仮定のもとで群環の場合と同様の現象が生じることを確認した.
本結果については, 論文を準備中である.
これまでに, 単連結代数のテンソル積代数のτ有限性について, 一部を除いて分類を行なっていた. 不完全であった分類を完全に与え, 論文を再投稿した. 単連結代数の場合においては, τ傾有限であることと有限表現型であることは同値であるため, これで有限次元であって, 単連結代数のテンソル積になっているものがクイバーと関係式によって完全に決定されたことになる.
与えられた有限次元代数上の加群における部分加群の数をカウントすることは, 組み合わせ論的にも重要な問題である. クイバーがA型の時は, 有理数のq-変形を与えることにより計算することが知られていたが, 当該年度ではそれをさらに精査し, 部分加群の数をカウントする公式を与えた. さらに, q-有理数に関する初等整数論的な性質をまとめ上げ, rational linkの正規化されたJones多項式の特殊値に関する新たな知見を得た.
最後に, 工学系への応用に関する研究である. 1つは「表現論の暗号理論への応用」について, 昨年度に定義した一様巡回群分解の暗号への応用や, ルービックキューブ等の初期インスタンス生成などへの応用を提唱した. もう1つは, グラフの正規表現を許した文字列への変換に関してである. 化学物質などを文字列で検索する技術にSMILESというものがあるが, これを正規表現を許す形に拡張した.
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