Construction of quantum walk model in Max-plus algebra and its application
| Project/Area Number |
20K14367
|
|---|
| Research Category |
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
|
| Allocation Type | Multi-year Fund |
|---|
| Review Section |
Basic Section 12040:Applied mathematics and statistics-related
|
|---|
| Research Institution | The University of Fukuchiyama |
|---|
Principal Investigator |
渡邉 扇之介 福知山公立大学, 情報学部, 准教授 (80735316)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
|
| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2021)
|
| Budget Amount *help |
¥4,290,000 (Direct Cost: ¥3,300,000、Indirect Cost: ¥990,000)
Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000)
|
|---|
| Keywords | Max-plus代数 / 量子ウォーク / 固有ベクトル / 固有値 / 超離散系 / セルオートマトン / 有向グラフ |
|---|
| Outline of Research at the Start |
本研究は，現在までに構築されてきた量子コンピュータの基礎理論の1つである量子ウォークの理論をmax-plus代数という特殊な代数の上で再構築し，そこで得られた結果がもたらす量子ウォークへの貢献を調べるというものである．Max-plus代数は，超離散化と呼ばれる手法を施すことで得られる代数系で，元の方程式等が持つ“極端な”性質を浮き彫りにすることが経験的に知られている．本研究はこの超離散化によって得られるmax-plus代数を用いて量子ウォークの本質に迫り，量子ウォークとmax-plus代数のどちらとも強い関係性を持つセルオートマトンやグラフ理論への応用を目指す．
|
| Outline of Annual Research Achievements |
2020年度の研究成果として，量子ウォークのmax-plus類似であるウォークモデル（max-plusウォークと呼んだ）を構成し，保存量が時間発展行列の固有値の総和となることを示した．この結果を踏まえて，2021年度はmax-plusウォークの極限分布を導出した．具体的には，量子ウォークの極限分布がお椀型になることに対し，max-plusウォークでは単純な直線となることを示した．この直線は量子ウォークにおける極限分布を「均した」ような形となっている．この結果はRIMS Kokyuroku Bessatsuに掲載された．
量子ウォークでは，格子点上の状態ベクトルの時間発展にユニタリー行列が用いられ，例えば各状態ベクトルのノルムの2乗の総和が時間に関する保存量となるという性質はユニタリー性が重要となる．一方で，Max-plus代数においては，このユニタリー性に完全に対応する性質が存在しない．その理由の１つがベクトルの直交の概念を定義することが難しいことにある．また，max-plusウォークの保存量は固有値と対応するため，max-plus代数における固有値問題を考えることは重要となるが，max-plus代数においては最大固有値以外の固有値についての議論は煩雑で，固有多項式の根と固有値との関係についても整理されていない．そこで，2021年度ではmax-plus代数における対称行列の固有ベクトルを調べ，それらの直交性と独立性に関する研究を行った．この研究については現在も進行中である．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本研究は既に１件の掲載済み論文を発表している．ただし，共同研究者との打合せや学会活動への参加が難しく，セルオートマトンとの関連を調べる研究の進捗はやや遅れている．
|
| Strategy for Future Research Activity |
Max-plus代数における直交性の概念を構築し，その視点からmax-plusウォークの解析を再度行う．具体的には，固有ベクトルを求めることで直交性を調べる．さらに，固有ベクトルがモデルに与える特徴や，ある種のユニタリー性と見られる特徴があるのかを調べる．また，セルオートマトンとの関係についての研究も開始する．
|
Report
(2 results)
Research Products
(4 results)
