Fusion of algebra, geometry and combinatorics based on the roots of Poincare polynomials of hyperplane arrangements
| Project/Area Number |
20K20880
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Medium-sized Section 11:Algebra, geometry, and related fields
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| Research Institution | Rikkyo University (2023)
Kyushu University (2020-2022) |
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Principal Investigator |
阿部 拓郎 立教大学, 理学部, 教授 (50435971)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
沼田 泰英 北海道大学, 理学研究員, 教授 (00455685)
鍛冶 静雄 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (00509656)
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| Project Period (FY) |
2020-07-30 – 2024-03-31
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| Project Status |
Completed (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥6,500,000 (Direct Cost: ¥5,000,000、Indirect Cost: ¥1,500,000)
Fiscal Year 2022: ¥2,600,000 (Direct Cost: ¥2,000,000、Indirect Cost: ¥600,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,950,000 (Direct Cost: ¥1,500,000、Indirect Cost: ¥450,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,950,000 (Direct Cost: ¥1,500,000、Indirect Cost: ¥450,000)
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| Keywords | 超平面配置 / 特性多項式 / ベッチ数 / 寺尾の分解定理 / SPOG配置 / 加除定理 / 対数的ベクトル場 / 整数根 / 交差格子 / メビウス関数 / 逆特性多項式 / 逆交差格子 / 特性多項式とその根 / 分解定理 / 制限写像 / 有向グラフ配置 / Shi配置 / Ish配置 / ポアンカレ多項式 / ランダム生成アルゴリズム / 機械学習 / 局所化と制限 / 対数的微分形式 / オイラー制限射 / Ramanujan Machine |
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| Outline of Research at the Start |
超平面配置はベクトル空間中の超平面の有限集合である。その重要な不変量にポアンカレ多項式がある。これは組み合わせ論・位相幾何・代数幾何的な意味を持ち、これらの研究手法が交錯している。この多項式が整数根を持つケースが存在し、代数的に良い配置の場合は寺尾の分解定理からその解釈がある。本研究ではその解釈を広げ、寺尾の分解定理の組み合わせ論や位相幾何的な意味付けを与え、代数・幾何・組み合わせ論を融合する。
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究最終年度である本年度は、これまでの研究を取りまとめつつ、新しい研究の萌芽の取りまとめを行った。
本年度集中的に行った研究は、SPOG配置の加除定理の総括的研究である。超平面配置の特性多項式の根は自由配置の場合はよくわかっていたが、それ以外の配置については代数的な理解は存在しなかった。そこで代表者が2021年に導入したSPOG配置、これは包含的にも代数構造的にも自由配置に近い配置として知られているが、そのSPOG配置の特性多項式の根と代数構造の研究を実施した。具体的には、その加除定理を探索した。自由配置の場合加除定理は除去と制限が自由である場合に、それらの根の多重集合の間に包含関係がある場合に残りの一つも自由であることを主張している。その類似物を構築することで、SPOG配置間の根の関係を代数的に明確にできるのでは、と考えた。
結果として、加法、除法、制限すべてに対して、SPOG配置の加除定理がある程度までは定式化できることが分かった。ただし現段階では、自由配置ほどまとまった形ではなく、いくつか例外的な場合を除く必要があり、更なるブラッシュアップが必要であると感じている。具体的には、SPOG配置に、制限がSPOG配置となるような超平面を付け加えた場合、得られる配置がSPOGである場合がほとんどである中で、自由配置となってしまう場合があるという問題がある。これは特性多項式の係数が、自由配置とSPOG配置とで、異なる構造を持つ場合でも係数が一致してしまうことがあるという三次元の場合の状況を高次元に反映しているものと考えられる。これらの配置の特性多項式の根の情報をより精査することで、結果としてよりまとまったものになると考えている。
研究機関全体を通して、自由性を用いた特性多項式の根の特徴づけ、グラフ配置の根の挙動の解析などを達成し、特性多項式の根の理解が大きく進んだと考えている。
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Report
(4 results)
Research Products
(9 results)
